Быстрый поиск

Экстремумы функций - (реферат)

p>aik yi yk (aik = aki) (5. 5) от переменных y1, …, ynназывают определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (5. 5) была определенной и положительной принадлежит , как было уже сказано выше , Сильвестеру (J. J. Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12… a1n a11>0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0, …, a21 a22… a2n a31 a32 a33 …………………

an1 an2… ann

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные для существования экстремума условия :

Если второй дифференциал, т. е. квадратичная форма

aik xi xk (5. 6) со значениями (5. 2) коэффициентов –оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке (x10, x20, …, xn0) будет собственный минимум (максимум). Для доказательства введем расстояние

= x12+…+ xn2

между точками (x10, x20, …, xn0) и (x1, x2, …, xn). Вынося в (5. 5) за скобку и полагая xi (i=1, 2, …, n)

перепишем выражение для в виде

= { aik Ei Ek+ ik Ei Ek} (5. 7) Числа Ei зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма (5. 7) –положительная, первая сумма в скобках в формуле (5. 7) иммет всегда положительный знак. Больше того, так как

Ei=1 (5. 8)

то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех возможных значениях Ei будет

aik Ei Ek>m

Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов Ei во всем пространстве, в частности же и в множестве М тех точек(E1, …, En), которые удовлетворяют соотношению (5. 8) (“сферическая поверхность”). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М). С другой стороны, ввиду (5. 3) вторая сумма в (5. 7) для достаточно малых , очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (x10, x20, …, xn0) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f(x1, x2, …, xn) имеет собственный минимум.

Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (5. 6) будет определенной, но отрицательной.

Для того, чтобы квадратичная форма (5. 6) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12… a1n a11
an1 an2… ann
5. 3. Метод вычисления критериев Сильвестера.

Применение критерия Сильвестера для определения экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей порядка. Рассмотрим один из возможных методов диагонализации матриц и соответственно получения треугольных определителей. Метод основан на последовательном понижении порядка определителя. При этом :

1. На каждом этапе понижения порядка определителя, удобная для применения вычислительной техники.

2. Получаемые в результате диагональные элементыопределителей являются элементами критерия Сильвестера и позволяют, так сказать, в “ходе вычисления” вести контроль знакоопределенности квадратичной формы.

В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей. 1. Известно, что

a11 a12
a21 a22

Впредь замена любого определителя второго порядка элементом a11 назовем “сверткой” определителя. 2. Определитель порядка не изменится, если элементы какой-либо строки умножить (разделить) на какое-либо число, не равное нулю, и сложить (вычесть) с элементами другой строки.

Итак, рассмотрим определитель n-го порядка, составленный из вторых частных производных некоторой функции n– переменных f(x1, x2, …, xn).

    Положим aik= fxixk ’’ . Имеем
    a11 a12… a1n
    ………………… (5. 9)
    an1 an2… ann

Умножим в (5. 9) элементы первой строки на a21/ a11 и вычтем их из элементов второй строки. Умножим в (5. 9) элементы первой строки на a31/ a11и вычтем их из элементов третьей строки. … Умножим в (5. 9) элементы первой строки на an1/ a11 и вычтем их из элементов последней строки. Выполнив последовательно эти операции, получим

    a11 a12 … a1n
    0 a22- a12 a21/ a11… a2n -a1n an1/ a11
    ………………………………………………………(5. 10)
    0 an2- a12 an1/ a11… ann- a1n an1/ a11

Умножим каждую строку в (5. 10), начиная со второй на a11, при этом определитель (5. 10) умножится на a11n-2 1

    ----------- (5. 11)
    a11n-2
    где
    a11 a22- a12 a21 a11 a23- a13 a21 … a11 a2n- a1n a21
    a11 a32- a12 a31 a11 a33- a13 a31 … a11 a13n- a1n a31
    ………………………………………………… (5. 12)
    a11 an2- a12 an1 a11 an3- a13 an1 … a11 ann- a1n an1

Рассмотрим более внимательно элементы (5. 12). Перепишем (5. 12) в виде a11 a12 … a1n-1

    a21 a22 … a2n-1
    ………………… (5. 13)
    an-11 an-12… an-1n-1
    Из сравнения (5. 12) и(5. 13) видно, что
    a11 – есть свертка определителя a11 a12
    a21 a22
    a12 – есть свертка определителя a11 a13
    a21 a23
    …………………………………………………...
    a1n-1 – есть свертка определителя a11 a1n
    a21 a2n
    .

Таким образом, первая строка 1n-1 является сверткой элементов первых двух строк определителя n. Более наглядно это можно сфрмклировать так : последовательно каждый “прямоугольник” элементов первой и второй строк заменяется его сверткой ; причем первые элементы двух строк “участвуют” во всех прямоугольниках этих строк.

    a11 a12 a13… a1n
    a11 a12 a1n-1
    a21 a22 a23… a2n

Аналогично вторая строка определителя n-1 является сверткой элементов первой и третьей строк исходного определителя. a11 a12 a13… a1n

    a21 a22 a2n-1
    a31 a32 a33… a3n
    Наконец для последней строки n-1 имеем
    a11 a12 a13… a1n
    an-1 1 an-1 2 an-1n-1
    an1 an2 an3… ann

Если теперь применить те же опервции к определителю n-1, т. е. к (5. 13), получим 1

    ……
    a11n-3 (5. 14)
    где
    a11 a12 … a1 n-2
    a21 a22 … a2 n-2
    ……………………………...
    an-2 1 an-2 2… an-2 n-2

а элементы aik являются сверткой соответствующих определителей – прямоугольников. Очевидно, повторяя эту операцию n–1 раз, получим следующую формулу, предварительно введя более простые обозначения :

    a11 = a1– левый угловой верхний элемент
    a11 = a2 – левый угловой верхний элемент
    a11 = a3 – левый угловой верхний элемент
    …………………………………………
    a11 = an – левый угловой верхний элемент.
    С учетом этого
    an
    ………………………...
    a1n-2 a2n-3… an-1 (5. 15) n>2
    Пример №1.
    2 1 5 3

0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4 5 6 3 1 22 2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 22 7 –19 -13 0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6

4 7 2

7 –19 –13 1 4*(-19)-7*7 4*(-13)-2*7 1 -72-49 -52-14 2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8

1 -121 -66 1 -121 -66 1

4 -10 8 2 -5 4 2 (-121*4-66*5)= -121*2-33*5= = -242 –165= -407

    Пример №2.
    0 2 1 5
    4 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0
    2 3 5 1 33 3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5
    3 4 0 6 3*3-2*0 3*4-2*2 3*0-2*1 3*6-2*5
    1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5
    12 3 9 18 -30 66 -264-108
    1 6 –1 10 -22 1 69 -105 96-162
    33 9 8 -2 8 33*122 66 78 120-108
    6 7 11 10
    -30 66 -372 30*105-66*69 30*66+69*372
    1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66 -30*12+66*372
    33*122 66 78 12 33*122*(-30)
    1 3150-4554 1980+25668 1 -1404 27648
    33*122*(-30) -2340-4356 -360+24552 33*122*(-30) –6696 24192
    -1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208
    33*122*(-30) 33*122*30
    31311360-182476800 15116544 15116544
    33*122*30 33*122 3888
    =3888

Вычесленные в порядке получения определителий n, n-1, …, 2 их верхние левые угловые элементы a1, a2, …, an являются критерием Сильвестера в части знаков, т. е. sign a11=sign a1

    sign a11=sign a2=sign a11 a12
    a21 a22
    ………
    a11… a1n
    sign a11=sign an=sign
    ………...
    an1… ann

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8