Интеграл по комплексной переменной - (реферат)
p>Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 |(3)
(4)
(5)
Причем | Z | < R, R ? ?? ? .
Формулы ЭЙЛЕРА.
Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;
(6)
Аналогично взяв Z = - ix получим :
(7)
Из (6) и (7) можно выразить т. н. формулы Эйлера :
(8)
В общем случае :
(9)
Известно, что :
(10)
Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:
Ряд ЛОРАНА.
Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.
ТЕОРЕМА 1.
Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0. Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R. Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку ? ?, тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши :
(13)
(11)
Поскольку
, то выражение можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, т. е. :
(12)
Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2? i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :
Обозначая , получим : (14)
Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что(15)
ТЕОРЕМА 2.
Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом : (16)
где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить (17) , получим :
(18)
ТЕОРЕМА 3.
Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 |
f1 и f2 можно представить в виде двух рядов :
(20)
(21)
Ряд (19) –ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R. f1(Z) – правильная часть.
f2(Z) – главная часть ряда Лорана.
Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.
Классификация изолированных особых точек. Вычеты.
Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0 ? G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|
Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует , где А – конечное число. Если для особой точки существует предел , то такая особая точка называется полюсом. Если не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой. Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.
Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1, 2, 3, .. ,m отличного от 0, а для всех n ? m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m. При m>1 такой полюс будет называться простым.
, если m ? ?? , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность. Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|
при m=1 :
Основная теорема о вычетах.
Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak. ? –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интегралравен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т. д. умноженный на 2? i : (5)
Пример :
Найти вычет
Особые точки : Z1=1, Z2= - 3.
Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.
Используем формулу (3) :
Интегральные преобразования.
Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0? 0 такие, что выполняется условие : |f(t)|
Рассмотрим функцию f(t)? e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b). (1)
Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
Проинтегрировав это равенство получим :
(2)
Оценим левую часть равенства (2) :
А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t
В случае если a>S0 имеем :
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметрар : (3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) ? F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу. - это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции ? ? t? ?? и? ?? t? имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций ? 0(t), sin (t), cos (t).
Определение: называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
Изображение единичной функции
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
интегрируя по частям получим :
т. е.
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного. где а – константа.
Таким образом :
и
Свойства линейности изображения.
Теорема: изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
Если , то , где
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(? +p) является изображением функции e-? t f(t) (4) Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:
F(p)
f(t)
F(p)
f(p)
1
Изображение производных.
Теорема. Если , то справедливо выражение :
(1)
Доказательство :
(2)
(3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
Что и требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :
Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.
Изображающее уравнение :
Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение . Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда . Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до? в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
(1)
Свертка обозначается следующим образом :
(1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов . Доказательство :
Пусть изображение свертки
(1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и ? . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и ? входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда . В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда (2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
- Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
, где s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : . Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни ? 1, ? 2, …, ? n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
(3)
Например :
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид :
(1)
На f(t) наложены условия :
f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-? ; ? )
f(t)? ? 0 , t ? (- ? ; 0)
При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t)принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :
(2)
Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа. Предположим, что Re(p) = a = 0, т. е.
(4)
(5)
и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
Должна быть определена на промежутке (-? ; ? ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная. Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C
Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций : т. к.
Если f(t) = 0 при t>0и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, чтоF(p) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t) ? 0, t
(6)
Обозначим
Очевидно, что (6’)
Функция (6) называется спектральной плотностью
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности : Вычисление интеграла (5)
Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной (7)
|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, ? (u) – фазовый угол. В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)
(8)
(9)
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол ? (u).
Пример.
Найти спектральную плотность импульса :
откуда , далее
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу приp = iu.
Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iu? ) абсолютно интегрируемой функции.
Страницы: 1, 2
