Быстрый поиск

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)

    Кафедра Факультет VIII
    Прикладной Курс II
    Математики Группа 891
    Дисциплина: Информатика – 2
    Курсовая работа

Тема: “Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне”

    Руководитель:
    Поляков В. О.
    Исполнитель:
    Солнцев П. В.
    Санкт-Петербург 2001
    Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта

выбор способа и алгоритма решения полученной модели
численная реализация алгоритма

Цель данной работы –на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

    Содержание
    Постановка задачи
    Физическая модель
    Математическая модель
    Обработка результатов эксперимента
    Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
    Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии
    Нахождение коэффициента теплоотдачи a
    Вычисление интеграла методом трапеций
    Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона)
    Вычисление времени Т0 установления режима
    Решение уравнения комбинированным методом
    Решение уравнения методом итерраций
    Решение краевой задачи (метод малого параметра)
    Заключение
    Литература
    Постановка задачи
    Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели. В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температуройq, на концах стержня поддерживается постоянная температура q0.

1. 2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Uiрассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

(1. 1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т. е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов. Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т. е. можно считать, что U(xi)=Ui

Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

(1. 2)

где l - коэффициент теплопроводности, a - коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, q - температура потока, в который помещён стержень. Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1. 2) с граничными условиями:

(1. 3)

на отрезке [-L|/2; L/2], где L – длина стержня, q0 - постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня. Коэффициент теплопроводности l зависит от температуры:

(1. 4)

где l0 - начальное значение коэффициента теплопроводности, sl - вспомогательный коэффициент. Коэффициент теплоотдачи a вычисляют по формуле:

(1. 5)
т. е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь a0 - значение a при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент. Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

(1. 6)

где а – коэффициент температуропроводности, x - наименьший положительный корень уравнения: (1. 7)

    Задание курсовой работы
    Вариант № 136
    Исходные данные:
    L = 0. 0386 м
    D = 0, 00386 м
    q = 740 оС
    q0 = 74 оС
    l0 = 141, 85 (Вт/м*К)
    sl = 2, 703*10-4
    B = 6, 789*10-7
    a0 = 3, 383*102 (Вт/м2*К)
    T = 218 оС
    А = 3, 043*10-5 (м2/с)
    11
    X, м
    U, oC
    0
    353
    0, 00386
    343
    0, 00772
    313
    0, 01158
    261
    0, 01544
    184
    0, 01930
    74
    2. Обработка результатов эксперимента.
    2. 1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

Ищем функцию регрессии в виде (1. 1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т. е. минимум величины S:

(2. 1)

В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут: Где k = 0, 1, 2. (2, 2)

    Из уравнений (2. 1) и (2. 2) получаем:
    (2. 3)
    Сумма
    Система (2. 3) примет вид:
    (2. 4)

В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2. 4) через “p”: Методом Гаусса решаем систему (2. 4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем: Подставляя в (2. 1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S: Smin=0. 7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Предполагается, что экспериментальные значения xiизмерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией s2, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле: Где r –число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т. е. r = 3.

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам: Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы; D - главный определитель нормальной системы.

    В нашем случае:
    S0=3. 5438 10-22
    S1=-8. 9667 10-14
    S2=6. 3247 10-7
    Откуда:

Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т. к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui. Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины: Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

Выбираем доверительную вероятность b=0, 9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение gb равное 2, 35, удовлетворяющее равенству: Доверительные интервалы для коэффициентов:

(2. 4*)
В нашем случае примут вид:

2. 2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi; Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией s2. Мы выбрали функцию регрессии в виде: Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т. е. функцией вида:

(2. 5)

C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).

Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2. 5)с помощью МНК имеет вид:

    (2. 7)
    Решая эту систему методом Гаусса, получим:
    (2. 8)

Страницы: 1, 2