Математический анализ - (реферат)
p>Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими номерами называется 2 транспортированием, 0а получившаяся матрица 2транспортированной.2СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:
21. 0При транспортировании матрицы ее определитель не меняется. 22. 0Если в матрице поменять местами две строки (столбца), то ее определитель умножится на -1.
23. 0Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 24. 0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на k.
25. 0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме двух определителей. У первого на месте этой строки стоят первые слагаемые, а у второго -вторые, а все остальные строки у всех трех определителей одинаковы.
26. 0Определитель матрицы не изменится, если к одной ее строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов). 27. 0Если элементы одной строки умножить на соответствующие алгебраические дополнения другой строки и сложить, то получится 0. 28. 0Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой нибудь строки равна определителю, у которого на месте этой строки стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации, а остальные строки совпадают со строками данного определителя.
2Минором 0, соответствующим элементу матрицы а , называется определитель матрицы, которая получится, если в данной матрице вычеркнуть строку и столбец, в которых стоит а .
2Алгебраическим дополнением 0 элемента а называется число равное 2А =М *(-1)
2Достаточные признаки
2равенства нулю
2определителя:
21. 0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно нулю, то определитель равен 0.
22. 0Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.
23. 0Если матрица содержит две строки, соответствующие элементы которой пропорциональны, то ее определитель равен 0.
2Необходимое и достаточное
2условие равенства нулю
2определителя:
Для того чтобы определитель матрицы был равен 0, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.
2§5. _ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.
2Тройка некомпланарных векторов a, b, c, 0начало которых совмещены, называется 2 правой, 0если кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с. В противном случае тройка называется 2 левой.
2СВ-ВА ориентированных троек векторв:
21. 0Если a, b, c -правая, то тройки b, c, a и c, a, b будут тоже правыми. Такая перестановка называется 2 циклической перестановкой. 0Т. е. при цикл. перестановке ориентация тройки не меняется.
22. 0Если a, b, c -правая, то тройки b, a. c и a, c, b -левые. Т. е. ,если поменять местами какие-нибудь два вектора, то ориентация тройки изменится.
2Векторным произведением 0 a и b называется вектор с, такой что: 1. если а и b коллинеарны (দb), то их векторное произведение с=[a, b]=0.
2. если а и b не коллинеарны, то с=[a, b] перпендикулярен а и _ b, т. е. [a, b] _ пл-ти векторов а и b и [a, b] направлен в такую
сторону, что тройка векторов a, b, [a, b] -правая. Длина векторного произведения равна ¦[a, b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,
построенного на векторах а и b.
2СВ-ВО векторного произведения:
21. 0[a, b]=0 a¦¦b.
22. Антикоммутативность:
[a, b]=[b, a], но [a, b]=-[b, a].
23. Билинейность:
3. 1: [a +a , b]=[a , b]+[a , b]
[a, b +b ]=[a, b ]+[a, b ].
3. 2: [ a, b]=[a, b]= [a, b].
¦i j k¦
[a, b]=¦x y z¦
¦x y z¦
2Нормальный вектор 0 -это вектор перпендикулярный пл-ти.
Ax+By+Cz+D=0 => n=(A, B, C)
2Углом между двумя пл-тями 0называется угол между их нормальными векторами.
2Углом между прямой и пл-тью 0называется угол между прямой и ее проекцией на пл-ть, sin этого угла равен cos , где -угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.
2Смешанным произведением векторов 0 a , b , c называется 2 _ 0число . ,равное скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на вектор с.
([a, b], c)
2Геометрический смысл
2смешанного произведения:
21. 0Если векторы a, b, c компланарны, то их смешанное произведение равно 0.
22. 0Если векторы a, b, c не компланарны, то _модуль . смешанного произведе ния равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем смешанное произведение положительно, если тройка a, b, c -пра вая, и отрицательно, если тройка векторв -левая.
2СВ-ВА смешанного
2произведения:
21. 0([a, b], c)=(a, [b, c])
([a, b], c) -смешанное произведение a, b, c.
(a, [b, c]) -смешанное произведение b, c, a.
Эти смешанные произведения равны, т. к. параллелипипед один и тот же и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента ция троек не меняется).
Это св-во показывает, что квадратные скобки можно не ставить: (a, b, c)=([a, b], c)
22. 0(a, b, c)=(b, c, a)=(c, a, b)=(c, a, b)=-(b, a, c)=-(a, c, b)=-(c, b, a) 23. 0Для того, чтобы a, b, c были компланарными (a, b, c)=0 24. 0Для того, чтобы a, b, c были линейно зависимыми (a, b, c)=0 25. Трилинейность:
5. 1: (a+b, c, d)=(a, c, d)+(b, c, d)
5. 2: ( a, b, c)=(a, b, c)=(a, b, c)= (a, b, c)
2Вычисление смешанного
2произведения:
a=(x , y , z )
b=(x , y , z )
c=(x , y , z )
¦x y z¦
([a, b], c)=¦x y z¦
¦x y z¦
2§6 _ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.
У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.
2Угловым коэффициентом 0прямой, не парал-ной оси y называ ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть
против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы
она стала парал-ной данной прямой.
2tg =(k -k )/1+k k
Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0
Для параллельных прямых: k =k
_ 2ГЛАВА#2: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
_ 2§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
Ф-ция f(х) называется 2дифференцируемой 0в т. Хо, если ее приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде
Q(х ) х+о( х), где о( х) -б. м. , не зависящая от х, Q( х)
-б. м. более высокого порядка, чем х.
Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х
Этот предел называется 2производной ф-цией в точке 0и обозначается f'(х ).
2Производной ф-цией f(х) 0в т. Хо называется предел отноше ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда
х_0.
(х )'= х
(a )'=a lna, ((e )'=e )
(log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)
sin'x=cosx
cos'x=-sinx
tg'x=1/cos x
ctg'x=-1/sin x
arcsin'x=1/ 1-x
arccos'x=-1/ 1-x
arctg'x=1/1+x
arcctg'x=-1/1+x
sh'x=chx (shx=e -e /2)
ch'x=shx (chx=e +e /2)
th'x=1/ch x (thx=shx/chx)
cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx)
f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),
слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от х, и если
f'(х)=0, то это слагаемое б. м. одного порядка с х.
Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно
называется 2 дифференциалом ф-ции 0 в т. Хо.
2Дифференциалом 0дифференцируемой ф-ции в т. Хо называется главная часть приращения, линейно зависящая от х.
df=f'(x ) x
Асимтотическое представление:
f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)
f(x + x)=f(x )+df
2§2 _ ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная
тождественна 0.
(C)'=0
2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т. Хо, то:
1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и
( u+ v)'= u'+ v'
2) их произведение дифф. в т. Хо и (uv)'=u'v+uv'
(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
3) если кроме того v(x )=0, то отношение
(u/v)'=u'v-uv'/v
3. Правило дифф. сложной ф-ции.
f(u) дифф. в т. Uo, u(x) дифф. в т. Хо, u(x )=u =>
f(u(x)) -дифф. в т. Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )
