Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции - (реферат)
Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Примеры
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ? 1 ,
| x | ? 1 ,
( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
Функция нечетная
( f(x) убывает на пр. [0; 1] , f(y) убывает на пр. [0; р/2] )
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-р/2; р/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )
Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f): [-1; 1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0; 1]
f(x) возрастает на пр. [-1; 0]
Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1; 1] от р до 0.
f(y) убывает на пр. [-1; 1] от р2 до 0.
Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )
Т. к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )
X
0
< x 1
< x +?
u=1/(x2-1)
-1
?
+ ?
- ?
?
0
y=arctg(u)
- р/4
?
р/2
- р/2
?
0
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1; 1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
y=x и y=sin(arcsin(x))
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент
функция
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arcctg(x)
sin
sin(arcsin(x))=x
cos
x
tg
x
1 / x
ctg
1 / x
x
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:
Т. к. cos2x + sin2x = 1 и ц = arcsin(x)
Перед радикалом следует взять знак “+”, т. к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем
Из тождества следует:
Имеем
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.
Пример №1. Преобразовать выражение
Решение: Применяем формулу , имеем:
Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:
Пример №3. Пользуясь
Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
Пример №5. Положив в формулах
, и
, получим:
,
Пример №6. Преобразуем
Положив в формуле ,
Получим:
Перед радикалами взят знак “+”, т. к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода –соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
Соотношения второго рода –соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга б, заключенная в интервале (-р/2; р/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дугаимеет синус, равный sinб и заключена, так же как и б, в интервале (-р/2; р/2), следовательно
Аналогично можно дугу б представить в виде арктангенса:
А если бы дуга б была заключена в интервале ( 0 ; р ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
Выражение через арктангенс.
Пусть , тогда
Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-р/2; р/2). Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-р/2; р/2). Следовательно,
(1)
(в интервале ( -1 : 1 )
Выражение через арксинус.
Т. к. , то (2)
в интервале
Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество (3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т. п. ). Если аргумент какой-либо аркфункции (т. е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -р/2 до 0, либо промежутку от р/2 до р и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.
Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому
При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае , а для функции имеем:
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т. е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X
При отрицательных значениях Х имеем Х0, и
Таким образом, имеем окончательно:
если , (4)
, если
График функции
Область определения есть сегмент [-1; 1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:
, если
, если
Аналогично установим, что при имеем:
, если же , то
Таким образом:
, если (5)
, если
Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
при имеем:
Если же х Итак,
, если (6)
, если
Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
При имеем:
Итак,
, если (7)
, если
Выражение арктангенса через арккотангенс.
, если х>0 (8)
, если x При x>0 равенство (8) легко установить; если же x .
Выражение арксинуса через арккотангенс.
, если (9)
, если
Выражение арккотангенса через арксинус.
, если 0 , если х Выражение арккотангенса через арктангенс.
, если x>0 (11)
, если x Примеры:
Пример №1. Исследовать функцию
Страницы: 1, 2