Быстрый поиск

Теория устойчивости - (реферат)

p>Определение 5. Точка ( a1, a2 , .... , an) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1 , f2 , .... , fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т. е. f (a) = 0, где a = ( a1 , a2 , .... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , .... , 0 ) . Если ( a1 , .... , an) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t )є0 , т. е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис. 8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот. Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т. е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис. 5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность " t і t0(рис. 9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяженияD , стремятся к началу (рис. 10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис. 11). Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постоянная матрица размера n ґn , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

    x2
    0 x1
    Рис. 9
    x2
    0 x1
    Рис. 10
    x2
    0 x1
    Рис. 11
    3. Простейшие типы точек покоя.
    Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
    ж dx / dt = P ( x , y ),
    н (A)
    о dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x0 , y0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0 , y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0. Рассмотрим систему

    ж dx / dt = a11 x + a12 y,
    н (7)
    о dy / dt = a21 x + a22 y.

где aij( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

    x = a 1 e k t , y = a 2 e k t . (8)
    Для определения k получаем характеристическое уравнение
    a11 - k a12
    = 0. (9)
    a21 a22 - k
    Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи : 1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел). 2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел). 3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически. II. Корни характеристического уравнения комплексные : k1 = p + q i, k2 = p - q i. Подслучаи : 1) p < 0 , q № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус). 2) p > 0 , q № 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус). 3) p = 0, q № 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет. III. Корни кратные: k1 = k2 . Подслучаи :

1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел). 2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел). 3) k1 = k2= 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами dxi n

    = е ai j xj ( i = 1 , 2 , .... , n ) (10)
    dt i=1
    характеристическим уравнением будет
    a11 - k a12 a13 .... a1n
    a21 a22 - k a23 .... a2n = 0. (11)
    ... ... ... ...
    an1 an2 an3 .... ann - k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t ) є 0 ( i = 1 , 2 , .... , n ) асимптотически устойчива. 2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re ki = p i > 0, то точка покоя xi ( t ) є 0 ( i = 1, 2, .... n ) системы (10) неустойчива. 3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя xi ( t ) є 0 ( i = 1, 2, .... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически. Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

    .
    ж x = a11 x + a12 y,
    н . (12)
    о y = a21 x + a22 y
    характеристическое уравнение (9) приводится к виду
    k2 + a1 k + a2 = 0.

1) Если a1 > 0 , a2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво. 2) Если а1 > 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2 > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически. 3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a1 = a2= 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А. В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид D ( l ) = l n + a1 l n-1 + a2 l n-2 + .... + an = 0. (13) Зная его корни l 1 , l 2 , .... , l n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде D ( l ) = ( l - l 1 ) ( l - l 2 ) .... ( l - l n ). (14)

    Im Im
    0 Re 0 Re
    а) б)

Рис. 12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней l и l i ;
б - для четырех корней l 1 , l ‘1 , l 2 , l ‘2

Графически каждый комплексный корень lможно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов (l - l i ), как это показано на рис. 12, а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис. 12, б). При изменении w от - Ґ до + Ґ векторы j w - l 1 и j w - l ‘1 комплексных корней l и l ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l 2 и j w - l ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l i ) для корня характеристического уравнения l i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15) - Ґ < w < Ґ для левой для правой

полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w )n + a1 ( j w )n-1 + a2 ( j w )n-2 + .... + an (16) содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до Ґ. В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18)

0 Ј w < Ґ

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)
0 Ј w < Ґ

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

    j V’ j V’
    0 U’ 0 U’
    а) б)

Рис. 13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13, а. На рис. 13, б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.

Страницы: 1, 2