Доклад: Астрономические причины хронологических сдвигов
| Земля | 0,002737806 +/- 4x10^{-9} |
| Луна | 0,036600997 +/- 7x10^{-9} |
| Марс | 0,001455646 +/- 11x10^{-9} |
| Юпитер | 0,00023080243 +/- 27x10^{-11} |
| Сатурн | 0,00009294112 +/- 5x10^{-11} |
Вычитая из звёздных скоростей планет скорость Земли получим средние угловые синодические скорости планет (в оборотах на день):
| Луна | +0,033863191 +/- 12x10^{-9} |
| Марс | -0,001283210 +/- 15x10^{-9} |
| Юпитер | -0,002507004 +/- 5x10^{-9} |
| Сатурн | -0,002644865 +/- 5x10^{-9} |
Луна геоцентрически обгоняет Солнце, поэтому её скорость положительна, прочие планеты, наоборот, отстают, и поэтому их скорости получились отрицательными, что для нашей проблемы несущественно. Обращая полученные величины, найдём синодические периоды обращения планет (в днях на оборот):
| Луна | 29,53059 +/- 2x10^{-5} |
| Марс | 779,933 +/- 9x10^{-3} |
| Юпитер | 398,8825 +/- 9x10^{-4} |
| Сатурн | 378,0911 +/- 7x10^{-4} |
Предыдущую систему неравенств можно записать через
средние угловые скорости, где V*=1/T*:
-E < D*Vл - Nл < E
-E < D*Vм - Nм < E
-E < D*Vю - Nю < E
-E < D*Vс - Nс < E
Величина D, которую мы ищем, ограничена 2 тысячами лет
в днях, - посмотрим какие погрешности мы можем получить, если пренебрежём
поправками к скоростям:
15x10^{-9}x360x2000x365,25 = 3,9447 градусов
Таким образом, в орбе надо учитывать дополнительные 4
градуса на ошибку округления. А скорости можно взять таковыми (в оборотах на
день):
Vм = 0,001283210 (Марс)
Vю = 0,002507004 (Юпитер)
Vс = 0,002644865 (Сатурн)
Vл = 0,033863191 (Луна)
Ясно, что в 16 веке эту систему неравенств нельзя было решить перебором натуральных D, как мы можем себе позволить сделать это с помощью компьютера, и вряд ли можно было сделать это с помощью итерационных методов (как я решал её сначала). Но если мы вспомним снова - что же мы ищем? Окажется, что у математиков 16 века был инструмент для нахождения "Общих Кратных" и "Общих Делителей" - алгоритм Евклида, опирающийся на операцию деления с остатком. Считается, что этот алгоритм придуман для решения абстрактных арифметических задач, но я полагаю, что создан он для решения именно таких проблем, которые мы разбираем. В следующей главе мы рассмотрим пример такого применения.
АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И НАХОЖДЕНИЕ МЕТОНОВА ЦИКЛА
Сначала я напомню операцию деления с остатком одного числа A (делимого) на другое B (делитель), делитель должен быть отличным от нуля, и удобнее, чтобы он был положительным. При этих условиях существуют единственные числа Z - целое (неполное частное) и R (остаток от деления A/B): 0 =< R < |B| такие, что A = B*Z + R
Если A и B - целые, таково же и R, если B положительно, Z = [A/B] - целой части числа A/B. Можно и иногда удобно делить с остатком усовершенствованным способом, выбирая остаток в диапазоне от -|B|/2 до |B|/2, и тогда Z будет целым числом, ближайшим к A/B.
Деление с остатком - это шаг алгоритма Евклида нахождения "Наибольшего Общего Делителя" (НОД) двух чисел. Суть его в следующем (A и B не должны быть нулевыми одновременно):
1) Пусть B - ненулевое, тогда делим A на B с остатком: A = B*Z1 + R1, 0 =< R1 < |B|, если R1 = 0, тогда по определению НОД(A,B) = |B|, иначе
2) Делим B на R1 с остатком: B = R1*Z2 + R2, 0 =< R2 < R1 < |B|, если R2 = 0, доказывается, что тогда НОД(A,B) = R1, иначе
3) Делим R1 на R2 с остатком: R1 = R2*Z3 + R3, 0 =< R3 < R2 < R1 < |B|,
если R3 = 0, доказывается, что тогда НОД(A,B) = R2, иначе продолжаем аналогично. Если R{i+1} - ненулевой, мы делим на него с остатком предыдущий остаток:
i+2) Ri = R{i+1}*Z{i+2} + R{i+2}, 0 =< R{i+2} <...< R1 < |B|,
Остатки убывают к нулю, а если A и B - целые, остаток обнуляется на некотором шаге:
k+1) R{k-1} = Rk*Z{k+1} + 0, где Rk - ненулевой
Оказывается, что в этом случае НОД(A,B) = Rk (То есть, Rk наибольшее число из таких, что A/Rk и B/Rk - целые). Если A и B - рациональные числа, алгоритм Евклида так же заканчивается за конечное число шагов, давая НОД. Например, найдём НОД(1/4, 1/6):
1. 1/4 = (1/6)*1 + 1/12;
2. 1/6 = (1/12)*2 + 0.
НОД(1/4, 1/6) = 1/12: 1/4 = (1/12)*3, 1/6 = (1/12)*2.
Если же A/B иррационально, алгоритм Еклида продолжается бесконечно, а положительные остатки убывают к нулю положительные остатки от деления A на B. В качестве НОД'а в этом случае можно выбрать любой из них, задаваясь необходимой погрешностью. Это применяется в следующей теории - шаги алгоритма Евклида можно записать в виде "непрерывной" или "цепной" дроби представляющей A/B:
A/B = Z1 + R1/B = Z1 + 1/(B/R1) = Z1 + 1/(Z2 + R2/R1) = = Z1 + 1/(Z2 + 1/(Z3 + R3/R2)) = ... = Z1 + 1/(Z2 + 1/(Z3 + 1/(Z4 + ...))) =: [Z1,Z2,Z3,Z4,...]
Если какой-то остаток Rk = 0, тогда цепная дробь
заканчивается k "этажами" и получим A/B = [Z1,Z2,Z3,...,Zk] = Lk/Nk -
рациональное число, после упрощения. Если же Rk - ненулевое, тогда
[Z1,Z2,Z3,...,Zk] = Lk/Nk называется k-ой подходящей дробью для A/B - она
наиболее близка к A/B среди всех дробей со знаменателем не большим Nk. То есть,
A/B примерно равно Lk/Nk, причём:
A*Nk - B*Lk = (-1)^{k-1}Rk, |A/B - Lk/Nk| = Rk/(B*Nk) - весьма мало,
поскольку Rk убывают, а Nk - растут. В предыдущем примере:
(1/4)/(1/6) = [1,2] = 1 + 1/2 = 3/2
Итак, поскольку Rk убывают, можно найти такую подходящую дробь [Z1,Z2,Z3,...,Zk] = Lk/Nk, что A*Nk с точностью до выбранной погрешности близко к B*Lk, и эту величину можно выбрать за "Наименьшее Общее Кратное" чисел A и B, НОК(A,B) - наименьшее неотрицательное число нацело делящееся на A и B.
При натуральных A и B мы имеем НОК(A,B) = A*B/НОД(A,B), то же верно и для рациональных положительных чисел, для любых положительных это равенство можно считать определением НОК.
Применим эту теорию Евклида к длине синодического месяца и длине юлианского года (и то и другое - в днях): 29,53059 и 365,25. Напишем непрерывную дробь для их отношения:
29,53059/365,25 = [0,12,2,1,2,2,24,1,10,...]
Разбираем подходящие дроби, их смысл и остатки:
[0] = 0/1, R1 = 29,53059 - означает, что месяц короче года;
[0,12] = 1/12, R2 = 10,88292 - в году 12 месяцев и ещё около 11 дней;
[0,12,2] = 2/25, R3 = 7,76475 - на столько дней 25 месяцев длиннее 2 лет;
[0,12,2,1] = 3/37, R4 = 3,11817 - разница 3-х лет и 37 месяцев;
[0,12,2,1,2] = 8/99, R5 = 1,52841 - разница 99 месяцев и 8 лет;
[0,12,2,1,2,2] = 19/235, R6 = 0,06135 - на столько дней 19 юлианских лет
длиннее 235 лунных месяцев!
То есть, при первом остатке меньшем суток мы получаем метонов цикл, открытый, якобы, в 433 году до н.э., когда и длина юлианского года была неизвестной! При этом считается, что и Евклид жил на сто лет позже афинянина Метона. Однако, наше значение для лунного месяца, возможно, чересчур точное: 29,53059 примерно равно 29 дней 12 часов 44 минуты 3 секунды. Легко убедиться, что та же "метонова" подходящая дробь, соответствующая первому остатку менее суток, получится при выборе длины месяца 29,53 или 29 дней 12 часов 40 минут, или 29 дней 12 часов 45 минут. Что из этого может следовать? Скорее всего, метонов цикл определён с помощью алгоритма Евклида (ведь не очень умно думать, что он вычислен прямыми наблюдениями за 400 лет до изобретения Созигеном юлианского года, а если допустить год длиной 365 суток, а месяц - 29,5 суток, то оптимальное соотношение между ними окажется 99/8: арифметическое расхождение, остаток, составит полсуток, а по наблюдениям за 8 лет - примерно 3,5 суток, что оптимальнее метоновой дроби 235/19для такой длины года).
Эти соображения, по-моему, весьма уместно добавить к размышлениям Н.А. Морозова [13, стр. 154-155] и М.М. Постникова [14, стр. 257-260] о метоновом цикле.
ПОИСК СДВИГОВ АЛГОРИТМОМ ЕВКЛИДА
Алгоритм Евклида пригоден и для нахождения НОД'ов, НОК'ов наборов из более чем двух чисел. Процедура нахождения НОД(a1,a2,...,ak) состоит из повторения такого шага: из набора чисел в качестве делителя выбирается ненулевое и не самое большое из них по абсолютному значению, затем все остальные числа заменяются остатками от деления на выбранный делитель. Процедура прекращается, когда осталось только одно отличное от нуля число в наборе - оно и является искомым НОД'ом.
Остановка алгоритма гарантирована только для наборов рациональных чисел. Для прочих же возможно постоянное уменьшение чисел из набора к нулю и искусственная остановка даёт нам "НОД" с некоторой погрешностью, зависящей от числа шагов. При этом сам алгоритм может развиваться в различных направлениях, подобно корневой системе дерева, что и отличает ситуацию более чем двух несоразмеримых чисел. Но для решения нашей проблемы необходимо уметь находить Наименьшее Общее Кратное наборов чисел - синодических периодов оборота планет, а для более чем двух чисел формула, истинная для двух:
