Курсовая работа: Программа для решения дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта
РУКОВОДСТВО
Теоретический материал
1. Решение дифференциальных уравнений
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:
у' = f(x)
и начальное условие его решения:
у'(х0) = у0..
Тогда решить уравнение — это значит найти такую функцию у — φ(х), которая, будучи подставленной, в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будет удовлетворено начальное условие. Задача отыскания функции у = φ (х) называется в математике задачей Коши. При решении дифференциального уравнения порядка n задача Коши формулируется следующим образом.
Дано дифференциальное уравнение порядка n:
у(n) = f(x, y, у'’,…,yn-1)
Необходимо найти такую функцию у = φ (х), которая, будучи подставленной в исходное уравнение, обратит его в тождество и одновременно будут удовлетворены следующие п начальных условий:
у(х0) = у0
у'(х0) = у'0
. . .
уn-1(х0) = уn-10
4.1 Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта обладает более высокой точностью, чем методы Эйлера за счет снижения методических ошибок. Идея метода состоит в следующем.
По методу Эйлера решение дифференциального уравнения первого порядка определяется из соотношения:
yi+1 = yi + Δyi;
где Δyi = hf (хi, yi) = hу' (хi, yi).
Тогда приращение Δyi, может быть найдено путем интегрирования:
Или окончательно
Вычислим теперь интеграл по методу прямоугольников:
yi+1 = yi + (xi+1 - xi)f(xi, yi) = yi + hf(xi, yi).
Из полученного выражения видно, что вычисление интеграла по методу прямоугольников приводит к формуле Эйлера.
Вычислим интеграл по формуле трапеций:
yi+1 = yi +0,5h(f(xi, yi)+ f(xi+1, yi+1))
Из выражения видно, что оно совпадает с расчетной формулой усовершенствованного метода Эйлера-Коши. Для получения более точного решения дифференциального уравнения следует воспользоваться более точными методами вычисления интеграла. В методе Рунге-Кутта искомый интеграл представляется в виде следующей конечной суммы:
где Pi — некоторые числа, зависящие от q ; Ki(h) — функции, зависящие от вида подынтегральной функции f(x,y) и шага интегрирования h, вычисляемые по следующим формулам:
K1(h) = hf(x, y);
K2(h) = hf(x + a2h, y + β21K1(h));
K3(h) = hf(x + a3h, y + β 31K1(h) + β 32K2(h));
Kn(h) = hf(x + aqh, , y + β q1K1(h) + ... + β q,q-1Kq-1(h)).
Значения p, α, β получают из соображений высокой точности вычислений. Формулы Рунге-Кутта третьего порядка (q= 3) имеют следующий вид:
K1=hf(xi, yi);
K2=hf(xi + 0,5h, yi+0,5 K1);
K3=hf(xi+h, yi+K1+2K2).
Наиболее часто используется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, для которого расчетные формулы имеют следующий вид:
K1=hf(xi, yi);
K2=hf(xi + 0,5h, yi+0,5 K1);
K3=hf(xi+0,5h, yi+0,5K2).
K3=hf(xi+h, yi+K3).
Формулы Рунге-Кутта имеют погрешности порядка h q+1 . Погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка имеет порядок h5
4.2 Описание программы ” РЕШЕНИЕ ОДУ “
Программа ”Решение ОДУ“ достаточно проста в использовании.
При запуске программы открывается главное окно программы (рис. 4), с установленными по умолчанию начальными условиями в полях ввода.
Назначение элементов ввода данных.
1. Поля X1, X2, Y(x1), H предназначены для ввода начального и конечного значений отрезка, на котором ищется решение дифференциального уравнения, значения функции при аргументе равном Х1 и величины шага дифференцирования;
2. В поле dY выводится формула дифференциального уравнения 1-й степени, выбранная для решения;
3. В поле dY(x1,y1) выводится значение производной в исходной точке.
Рис.4
Назначение элементов управления и контроля.
1. При нажатии кнопки EXAMPLE активируются “радиокнопки” выбора уравнений;
2. Щелчком “радиокнопки” выбирается соответствующее ей уравнение, вид формулы контролируется по её отображению в поле dY ;
3. Щелчком по кнопке ВЫЧИСЛИТЬ находятся приближенные решения выбранного дифференциального уравнения на заданном интервале;
4. Решения дифференциального уравнения в виде пар значений X - Y выводятся в поля X и Y; (рис. 5.)
По окончании вычислений активируются кнопка ГРАФИК и пункт меню ГРАФИК главного окна системы.
Рис.5
4.3 Назначение элементов графического окна программы
Вход в графическое окно осуществляется с помощью кнопок ГРАФИК на главной форме или пункт меню ГРАФИК (рис. 6).
С помощью кнопки ВЫЧЕРТИТЬ на координатную плоскость выводится график функции – решение дифференциального уравнения на заданном интервале.
рис.6
4.4 Реакция программы при возникновении ошибок
При вводе пользователем ошибочных данных (отсутствии начальных условий, некорректных значений переменных) программа выдает сообщение об ошибке (рис.7 а, б) рис.7а. рис.7б.
рис 7а Рис.7б
Версия DELPHI
4.5 Перечень компонент DELPHI использованных в программе
В Form1 использованы компоненты:
- Edit1.text, Edit2.text, Edit3.text, Edit4.text – для ввода начальных условий дифференциального
уравнения
- Memo4.TMemo – для вывода формулы уравнения;
- Memo1.TMemo, Memo2.TMemo - для вывода результатов вычислений;
- Memo3.TMemo – для вывода значения производной в точке (Х0,Y0)
- ScrollBars ssVertical в свойствах Memo1.TMemo, Memo2.TMemo;
- Button1 “Вычислить”, Button2 “Очистить”, Button3 “График”, Button4 “Выход”,
Button5 “Example”, Button6 “UnExample”;
- Label1.TLabel - Label9.TLabel – для отображения назначения компонентов Memo и Edit;
- RadioGroup – для выбора вида уравнения;
- MainMenu ;
В Form2 использованы компоненты:
- MainMenu - для построения графика;
В Form3 использованы компоненты:
- Panel1.T Panel – для размещения информации о программе;
- Label1.TLabel – Label14.TLabel – для отображения информации о программе;
- Button1.T Button “OK” – для выхода из окна
5. ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ТРЕБОВАНИЯ К ПО
Технические характеристики
Программа работает в среде операционных систем Windows 9х, NT.
Требования к ПО
Минимальные системные требования
a процессор Intel 486 с рабочей частотой 66 MHz и выше;
b) операционная система Windows 95, 98, NT 4.0, 2000, XP;
с) 16 Мбайт оперативной памяти (или более);
d) 3 Мбайт свободного пространства на жёстком диске.
6. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ
Код программы
unit RKt;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,
StdCtrls, CheckLst, ComCtrls, ExtCtrls,math, Menus;
type
TRKutta = class(TForm)
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label5: TLabel;
Label6: TLabel;
Edit1: TEdit;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Edit4: TEdit;
Memo1: TMemo;
Memo2: TMemo;
Button1: TButton;
Button2: TButton;
Label4: TLabel;
Label7: TLabel;
Button3: TButton;
Button4: TButton;
Label9: TLabel;
RadioGroup1: TRadioGroup;
Button5: TButton;
Memo3: TMemo;
Button6: TButton;
MainMenu1: TMainMenu;
N1: TMenuItem;
N3: TMenuItem;
N4: TMenuItem;
Example1: TMenuItem;
UnExample1: TMenuItem;
N5: TMenuItem;
N7: TMenuItem;
N2: TMenuItem;
N9: TMenuItem;
N8: TMenuItem;
Label1: TLabel;
Memo4: TMemo;
Label8: TLabel;
Label10: TLabel;
Label11: TLabel;
Label12: TLabel;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button3Click(Sender: TObject);
procedure Button4Click(Sender: TObject);
procedure RadioGroup1Click(Sender: TObject);
