Лабораторная работа: Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

Лабораторная работа: Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = ¦(х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

¦(х) = ln x

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение

Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом

h = 0,04:

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

1.  На отрезке [a, b] задать одномерную сетку

hx = {xi / xi = xi –1 + hi, hi > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b}

и значения yi = f(xi) в узлах сетки xi, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x* Î (a, b).

2.  Положить ai = yj, i = 0, 1, 2, …, n.

3.  Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов ci, i = 0, 1, 2, …, n.

4.  Определить значения коэффициентов di и bi, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

di = (ci – ci – 1) / hi, i = 1, 2, …

5.  Определить значение индекса 0 < k £ n из условия x* Î [xk – 1, xk].

6.  Вычислить по формуле

S(x*) = Sk(x*) = ak + bk(x* – xk) + (ck / 2)(x* – xk)2 + (dk / 6)(x* – xk)3.

7.  Процесс завершен: S(x*) – результат интерполяции табличных данных в точку x* Î (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Значение функции в точке находится по формуле:

Страницы: 1, 2