Основы математики - (реферат)
Основы математики - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.
1 C00
1 1 C10 C11
1 2 1 C20 C21 C22
1 3 3 1 C30 C31 C32 C33
1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44
1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55 1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1. Свойства треугольника Паскаля:
1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке.
2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис лам.
3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре дыдущей сроке.
4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. Сmn=Cmm-n
2. Бином Ньютона.
(a+b) - двучлен (бином)
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2
и т. д. ; )
Свойства бинома Ньютона:
1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.
2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой.
3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:
n
(a + b)n = S Cnk. an-k. bk
k=0
4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk. an-k. bk
5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.
Метод математической индукции.
Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:
1) Оно верно при n=1;
2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно при n=k+1.
Комбинаторика: Размещения и перестановки.
Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое динениями.
3 рода соединений:
1) Размещения
2) Перестеновки
3) Сочетания
Дано: (a, b, c) - 3 элемента.
по одному: a, b, c.
по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.
по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.
1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n, m ------------¬
¦ m! ¦
¦Amn= ------+
¦ (m-n)! ¦
L-----------
2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками.
------¬
¦Pm=m! ¦
L-----
2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на зываются сочетениями.
--------------¬ Свойства числа сочетний:
¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n
¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1
¦ (m-n)! n! ¦ 3) Cm0=1
L-------------- 4) C00=0! =1
Дифференцирование функций.
Производная функции
h=x-a - приращение аргумента
f(a+h) - f(a) - приращение функции
--------------------------------------¬
¦ f(a+h) - f(a)
¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)
¦ h->0 h
+-------------------------------------
¦f(a+h)-f(a)=(k+a). h
L-------------------
df = f'(x). dx - дифференциал функции.
Примеры:
1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))
1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =
x h->0 h h->0 h
1 1
= lim ------- = --
x(x+h) h2
|\\ 1
2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = --
2? x
(ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2
----------------¬
¦(axn)' = n. xn-1¦
L---------------
Техника дифференцирования.
(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то (f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ ( f )' f'g + fg' ке.
¦ - ¦ = --------
9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ водная отрицательна.
(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про n|\\ 1 изводная положительна.
? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные
экстремумы.
4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти: а) Значение функции на краях промежутка;
б) Экстремумы функции на данном промежутке;
в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.
Дифференцирование тригонометрических функций.
---------------¬ ----------¬
¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦
¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦
¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦
L--------------- L---------
(Sin x)' = Cos x
(Cos x)' = -Sin x
1 1
(tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = ----
Cos2x Sin2x
Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".
" Исследование квадратного трехчлена "
Теорема 1. --
--------- ¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 ¦ f(M) > 0, Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.
¦ D . 0,
¦ x0 > M,
¦ f(M) < 0
L-
Теорема 2. --
---------- ¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,
x1 , x2 < b ¦ f(b) > 0, Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 < b.
¦ D . 0,
¦ x0 < b,
¦ f(b) < 0
L-
Теорема 3. --
--------- ¦ ( а > 0,
¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0
¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 < b ¦ 2 f(M) > 0, D . 0,
=============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b
¦ ( a < 0,
¦ 2 D . 0,
¦ Б M < x0 < b,
¦ 2 f(b) < 0,
¦ 9 f(M) < 0
L-
Теорема 4. --
--------- ¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) > 0,
¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0
M < x1 < b < x2 ¦ ( a < 0, a7f(M) > 0, =============== ¦ Б f(b) > 0,
¦ 9 f(M) < 0
L-
Теорема 5. --
--------- ¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) < 0,
¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0
x1 < M < x2 < b ¦ ( a < 0, a7f(M) < 0,
=============== ¦ Б f(b) < 0,
¦ 9 f(M) > 0
L-
Теорема 6. --
---------- ¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) < 0,
¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0
x1 < M < b < x2 ¦ ( a < 0, a7f(M) < 0, =============== ¦ Б f(b) > 0,
¦ 9 f(M) > 0
L-
Теорема 7. --
--------- ¦ а > 0,
¦ f(M) < 0,
x1 < M < x2 ¦ a < 0, a7f(M) < 0,
=========== ¦ f(M) > 0
L-
Числовая последовательность.
1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7.... an
f(n) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член последовательности. |\\ |\ |\ Последовательность называют возрастающей, если каждый член после довательности больше предыдущего, т. е. : если an+1>an, то (an)%. Последовательность называется убывающей, если каждый член после довательности меньше предыдущего, т. е. : если an+1
an , M => (an) - ограниченная сверху.
an . M => (an) - ограниченная снизу.
2). Арифметическая прогессия [_]
Страницы: 1, 2