Быстрый поиск

Основы математики - (реферат)

p>Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже число, которое называется разностью прогрессий.

    _ a1, a2, a3, a4.... an
    a2=a1+d; d - разность прогрессий
    -------------¬

¦an=a1+(n-1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии.... L-------------

Свойства членов арифметической прогресии:

1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети ческое членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2

2. Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между собой: a1+an=a2+an-1=a3+an-2

3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети ческое равноудаленных от него членов.

    ------------¬ ----------------¬
    ¦ (a1+an)n¦- ¦ 2a1+(n-1)d ¦
    ¦S_=--------+- ¦S_=----------. n¦
    ¦ 2 ¦- ¦ 2 ¦
    L------------- L---------------

3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии. (q) b2=b1. q; b2=b1. q2 и т. д.

-------------¬

¦bn=b1. q(n-1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии. L-------------

    Свойства членов геометрической прогрессии:
    |\\\\\\\\\\
    1. bn=? bn-k. bn+k
    2. b1. bn=bk. bn-k+1
    2. Произведение n-членов геометрической прогрессии равно:
    --------------------------¬
    ¦ |\\\\\\\ |\\\\\\\\\¦
    ¦P=? (b1. bn)n = ? (b12qn-1)n¦
    L-------------------------
    4. Сумма n-членов геометрической прогрессии равна:
    bnq-b1 b1(qn-1)
    S=------ = -------
    q-1 q-1
    1
    lq9m. pdr 2 1
    Основные формулы сокращенного умножения.
    a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
    a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
    a2 - b2 = (a - b)(a + b)
    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
    an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + .... +bn-1)
    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3
    (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
    a4 + b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
    (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
    (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
    |\\\\\\\\\ |\\\\\\\\\
    / A + ? A-B / A + ? A-B
    A + B = /---------- + /---------
    ? 2 ? 2
    |\\ |\\ |\\ |\\
    a - b = (? a - ? b )(? a + ? b )
    |\\ |\\ 3|\\ |\\\ 3|\\
    a - b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2)
    |\\ --> a, если a . 0!
    ? a2 = ¦a¦-+
    L->-a, если a < 0!
    Сумма углов выпуклого многоугольника: 180(n - 2)
    Формула Герона S = ? p(p - a)(p - b)(p - c)
    Правильный многоугольник:
    an = 2r. tg(180/n) = 2R. Sin(180/n)
    Sn = p. r = 0, 5. PR. Cos(180/n)
    -------------------------
    Sквадрата = a. b abc
    Sтреугольника = 0, 5. ah = 0, 5. ab. Sin a = --
    4R
    d1. d2
    Sпараллелограма = ab. Sin a = ----- = a. ha
    2
    Sтрапеции = 0, 5. (a + b) = ch (c - средняя линия)
    Преобразования на плоскости.

Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние. Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l)

    Центральная симметрия - движение относительно точки,
    при котором сохраняется расстояние
    ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О)
    Параллельный перенос (П[вектор]
    Поворот - R[угол][точка]
    Гомотетия - увеличение или уменьшение H[коэфициент][точка]
    Правила действия над тригонометрическими функциями.

г==============================T==============================¬ ¦y=Sin a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦ ¦ + ¦ + ¦ - ¦ + ¦ ¦-1 , Sin a , 1 ----+---- ¦-1 , Cos a , 1 ----+---- ¦ ¦ - ¦ - ¦ - ¦ + ¦ ¦==============================¦==============================¦ ¦y=tg a ; y=Ctg a- неограниченные функции ¦ ¦ - ¦ + ¦ ¦ ----+---- ¦ ¦ + ¦ - ¦ L============================================================= 360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0, 5p ; Длинна дуги равна произведению p p p её радианного измерения на ра

    60 = - ; 45 = - ; 30 = - диус
    3 4 6
    Cокружности = 2pR
    Основные тригонометрические тождества:
    q 1. Sin2a + Cos2a = 1
    Sin a Cos a
    2. tg a = ----- ; Ctg a = ----
    Cos a Sin a
    3. tg a * Ctg a = 1
    1 1
    4. 1 + tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = ----
    Cos2a Sin2a
    Правило формул превидения

Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти. Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то функция не меняется. Если угол откладывается то вертикального диаметра то функция меняется на созвучную. ( Sin a на Cos a ; tg a на Ctg a) ----------------------------------T---------------------------------¬ ¦Cos(a-b) = Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦ +---------------------------------+---------------------------------+ ¦Sin(a-b) = Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦ +-----------------------T---------+--------------T------------------ ¦ tg a - tg b ¦ tg a + tg b ¦

    ¦tg(a-b) = ----------- ¦ tg(a+b) = ----------- ¦
    ¦ 1 + tga*tgb ¦ 1 - tga*tgb ¦
    +-----------------------+-T----------------------+----¬
    ¦ Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb - 1 ¦
    ¦Ctg(a-b) =-------------- ¦ Ctg(a+b) = ------------- ¦
    ¦ Ctg a - ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦
    +-----------------------T-+---------------------T-----
    ¦Sin 2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦
    +-----------------T-----+--------------T--------
    ¦ 2*tg a ¦ Ctg2a - 1 ¦
    ¦tg 2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦
    ¦ 1 - tg2a ¦ 2*Ctg a ¦
    L-----------------+--------------------
    Sin a * Cos b = 0, 5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)]
    Sin x + Sin y = 2Sin 0, 5(x+y) * Cos 0, 5(x-y)
    Sin x - Sin y = 2Cos 0, 5(x+y) * Sin 0, 5(x-y)
    Cos x + Cos y = 2Cos 0, 5(x+y) * Cos 0, 5(x-y)
    Cos x - Cos y = -2 Sin 0, 5(x+y) * Sin 0, 5(x-y)
    Cos a * Cos b = 0, 5[Cos(a-b) + Cos(a+b)]
    Sin a * Sin b = 0, 5[Cos(a-b) - Cos(a+b)]

---------------------------T---------------------------------¬ ¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦ ¦tg x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = ----------- ¦ ¦ Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦ +--------------------------+--T------------------------------+ ¦ Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦ ¦Ctg x - Ctg y = ------------ ¦ Ctg x + Ctg y = ----------- ¦ ¦ Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦ L-----------------------------+------------------------------

    Sin 3x = 3Sin x - 4Sin3x 2tg x
    Cos 3x = 4Cos3x - 3Cos x Sin 2x = --------
    /1 + Cos 2x 2tg2x + 1
    ¦Cos x¦ = / ---------
    ? 2 . 1 + tg2x
    /1 - Cos 2x Cos 2x = -------
    ¦Sin x¦ = / ---------- 1 - tg2x
    ? 2 .
    / 1 - Cos 2x 2tg x
    ¦tg x¦ = / ----------- tg 2x = -------
    ? 1 + Cos 2x 1 - tg2x
    1. Решение тригонометрических уравнений.
    Sin x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z.
    Cos x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z.
    tg x = m ==> x = arctg m + pn, n Z.
    ctg x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z.
    2. Равенство одноименных функций.
    Sin t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z.
    Cos t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z.
    tg t = tg a ==> t = a + kp, k Z.
    3. Универсальная подcтaновка.
    t t
    2tg --- 1 - tg2 --
    2 2 t

Sin t = ------------ ; Cos t = ------------- ; tg --- = Z. t t 2

    1 + tg2 --- 1 + tg2 --
    2 2
    4. Функции кратных аргументов.
    -
    ¦ Cos2x = Cos2x - Sin2x.
    (a+b)2=a2+2ab+b2 ===> ¦
    ¦ Sin2x = 2Cosx7Sinx.
    L
    -
    ¦ Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x.
    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ===> ¦
    ¦ Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x.
    L
    -
    ¦ Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x.
    (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ===> ¦
    ¦ Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x.
    L
    5. Дополнительно.
    Cos (n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x.
    Sin 5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina.
    Sin 7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina =
    = Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).