Реферат: Распределенные алгоритмы
b) Принятие решения. Каждое вычисление содержит хотя бы одно событие decide:
" C : $ e Î C : e - событие decide.
c) Зависимость. В каждом вычислении каждому событию decide каузально предшествует какое-либо событие в каждом процессе:
" C : " e Î C : ( e - событие decide Þ " q Î P $ f Î Cq : f p e).
Вычисление волнового алгоритма называется волной. Кроме того, в вычислении алгоритма различаются инициаторы, также называемые стартерами, и не-инициаторы, называемые последователями. Процесс является инициатором, если он начинает выполнение своего локального алгоритма самопроизвольно, т.е. при выполнении некоторого условия, внутреннего по отношению к процессу. Не-инициатор включается в алгоритм только когда прибывает сообщение и вызывает выполнение локального алгоритма процесса. Начальное событие инициатора - внутреннее событие или событие посылки сообщения, начальное событие не-инициатора - событие получения сообщения.
Существует множество волновых алгоритмов, так как они могут различаться во многих отношениях. Для обоснования большого количества алгоритмов в этой главе и в качестве помощи в выборе одного из них для конкретной цели здесь приведен список аспектов, которые отличают волновые алгоритмы друг от друга; см. также Таблицу 6.19.
1) Централизация. Алгоритм называется централизованным, если в каждом вычислении должен быть ровно один инициатор, и децентрализованным, если алгоритм может быть запущен произвольным подмножеством процессов. Централизованные алгоритмы также называют алгоритмами одного источника, а децентрализованные - алгоритмами многих источников. Как видно из Таблицы 6.20, централизация существенно влияет на сложность волновых алгоритмов.
2) Топология. Алгоритм может быть разработан для конкретной топологии, такой как кольцо, дерево, клика и т.д.; см. Подраздел 2.4.1 и Раздел B.2.
3) Начальное знание. Алгоритм может предполагать доступность различных типов начального знания в процессах; см. Подраздел 2.4.4. Примеры требуемых заранее знаний:
(a) Идентификация процессов. Каждому процессу изначально известно свое собственное уникальное имя.
(b) Идентификация соседей. Каждому процессу изначально известны имена его соседей.
(c) Чувство направления (sense of direction). См. Раздел B.3.
4) Число решений. Во всех волновых алгоритмах этой главы в каждом процессе происходит не более одного решения. Количество процессов, которые выполняют событие decide, может быть различным; в некоторых алгоритмах решение принимает только один процесс, в других - все процессы. В древовидном алгоритме (Подраздел 6.2.2) решают ровно два процесса.
5) Сложность. Меры сложности, рассматриваемые в этой главе, это количество передаваемых сообщений (message complexity), количество передаваемых бит (bit complexity) и время, необходимое для одного вычисления (определено в Разделе 6.4). См. также Подраздел 2.4.5.
Каждый волновой алгоритм в этой главе будет дан вместе с используемыми переменными и, в случае необходимости, с информацией, передаваемой в сообщениях. Большинство этих алгоритмов посылают «пустые сообщения», без какой-либо реальной информации: сообщения передают причинную связь, а не информацию. Алгоритмы 6.9, 6.11, 6.12 и 6.18 используют сообщения для передачи нетривиальной информации. Алгоритмы 6.15 и 6.16/6.17 используют различные типы сообщений; при этом требуется, чтобы каждое сообщение содержало 1-2 бита для указания типа сообщения.
Обычно при применении волновых алгоритмов в сообщение могут быть включены дополнительные переменные и другая информация.[AK1] Многие приложения используют одновременное или последовательное распространение нескольких волн; в этом случае в сообщение должна быть включена информация о волне, которой оно принадлежит. Кроме того, процесс может хранить дополнительные переменные для управления волной, или волнами, в которых он в настоящее время активен.
Важный подкласс волновых алгоритмов составляют централизованные волновые алгоритмы, обладающие двумя дополнительными качествами: инициатор является единственным процессом, который принимает решение; и все события совершенно упорядочены каузальными отношениями. Такие волновые алгоритмы называются алгоритмами обхода и рассматриваются в Разделе 6.3.
6.1.2 Элементарные результаты о волновых алгоритмах
В этом подразделе доказываются некоторые леммы, которые помогают лучше понять структуру волновых вычислений, и приведены две тривиальные нижние границы сложности сообщений волновых алгоритмов.
Структурные свойства волн. Во-первых, каждому событию в вычислении предшествует событие в инициаторе.
Лемма 6.2 Для любого события e Î C существует инициатор p и событие f в Cp такое, что f p e.
Доказательство. Выберем в качестве f минимальный элемент в предыстории e, т.е. такой, что f p e и не существует f¢ p f. Такое f существует, поскольку предыстория каждого события конечна. Остается показать, что процесс p, в котором находится f, является инициатором. Для начала, заметим, что f - это первое событие p, иначе более раннее событие p предшествовало бы f. Первое событие не-инициатора - это событие получения сообщения, которому предшествовало бы соответствующее событие посылки сообщения, что противоречит минимальности f. Следовательно, p является инициатором.
Волна с одним инициатором определяет остовное дерево сети, где для каждого не-инициатора выбирается канал, через который будет получено первое сообщение.
Лемма 6.3 Пусть C - волна с одним инициатором p; и пусть для каждого не-инициатора q fatherq - это сосед q, от которого q получает сообщение в своем первом событии. Тогда граф T = (P, ET), где ET = {qr: q ¹ p & r = fatherq } - остовное дерево, направленное к p.
Доказательство. Т.к. количество вершин T превышает количество ребер на 1, достаточно показать, что T не содержит циклов. Это выполняется, т.к. если eq - первое событие в q, из того, что qr Î ET следует, что er p eq, а p - отношение частичного порядка.
В качестве события f в пункте (3) Определения 6.1 может быть выбрано событие посылки сообщения всеми процессами q, кроме того, где происходит событие decide.
Лемма 6.4 Пусть C - волна, а dp Î C - событие decide в процессе p. Тогда
" q ¹ p: $ f Î Cq: ( f p dp & f - событие send)
Доказательство. Т.к. C - это волна, существует событие f ÎCq, которое каузально предшествует dp; выберем в качестве f последнее событие Cq, которое предшествует dp. Чтобы показать, что f - событие send, отметим, что из определения каузальности (Определение 2.20) следует, что существует последовательность (каузальная цепочка)
f = e0, e1, ..., ek = dp,
такая, что для любого i < k, ei и ei+1 - либо последовательные события в одном процессе, либо пара соответствующих событий send-receive. Т.к. f - последнее событие в q, которое предшествует dp, e1 происходит в процессе, отличном от q, следовательно f - событие send.
Рис.6.1 Включение процесса в неиспользуемый канал.
Нижние границы сложности волн. Из леммы 6.4 непосредственно следует, что нижняя граница количества сообщений, которые передаются в волне, равна N-1. Если событие decide происходит в единственном инициаторе волны (что выполняется всегда в случае алгоритмов обхода), граница равна N сообщениям, а волновые алгоритмы для сетей произвольной топологии используют не менее |E| сообщений.
Теорема 6.5 Пусть C - волна с одним инициатором p, причем событие decide dp происходит в p. Тогда в C передается не менее N сообщений.
Доказательство. По лемме 6.2 каждому событию в C предшествует событие в p, и, используя каузальную последовательность, как в доказательстве леммы 6.4, нетрудно показать, что в p происходит хотя бы одно событие send. По лемме 6.4 событие send также происходит во всех других процессах, откуда количество посылаемых сообщений составляет не меньше N.
Теорема 6.6 Пусть A - волновой алгоритм для сетей произвольной топологии без начального знания об идентификации соседей. Тогда A передает не менее |E| сообщений в каждом вычислении.
Доказательство. Допустим, A содержит вычисление C, в котором передается менее |E| сообщений; тогда существует канал xy, по которому в C не передаются сообщения; см. Рис.6.1. Рассмотрим сеть G¢, полученную путем включения одного узла z в канал между x и y. Т.к. узлы не имеют знания о соседях, начальное состояние x и y в G¢ совпадает с их начальным состоянием в G. Это верно и для всех остальных узлов G. Следовательно, все события C могут быть применены в том же порядке, начиная с исходной конфигурации G¢, но теперь событию decide не предшествует событие в z.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105
