Быстрый поиск

Учебное пособие: Анализ временных рядов

(4).

Процедура перехода от ряда (t = 1,2,...,T) к ряду называется взятием первой сезонной разности, а оператор сезонным разностным оператором с периодом t. Из (4) следует, что

Выходит, взятие сезонной разности исключает из временного ряда любую детерминированную сезонную компоненту.

Иногда оказываются полезными сезонные операторы более высоких порядков. Так, сезонный оператор второго порядка с периодом t есть

Если ряд содержит и тренд, и сезонную составляющую, их можно исключить, последовательно применяя операторы и .

Легко показать, что порядок применения этих операторов не существенен:

Отметим также, что детерминированный тренд, состоящий из тренда и сезонной компоненты, после применения операторов и полностью вырождается, то есть . Однако записав последнее уравнение в рекуррентной форме, получаем

Из последнее соотношения видно, каким образом ряд можно неограниченно продолжать, имея вначале по крайней мере t+1 последовательных значения.

6. Модели случайной составляющей временного ряда

линейный ряд временной система

Для удобства изложения условимся обозначать здесь случайные величины так, как это принято в математической статистике – строчными буквами.

Случайным процессом X(t) на множестве Т называют функцию, значения которой случайны при каждом t Î T. Если элементы Т счетные (дискретное время), то случайный процесс часто называют случайной последовательностью.

Полное математическое описание случайного процесса предполагает задание системы функций распределения:

– для каждого t Î T , (1)

– для каждой пары элементов

(2)

и вообще для любого конечного числа элементов

(3).

Функции (1),(2),(3) называют конечномерными распределениями случайного процесса.

Построить такую систему функции для произвольного случайного процесса практически невозможно. Обычно случайные процессы задают с помощью априорных предположений о его свойствах, таких как независимость приращений, марковский характер траекторий и т. п.

Процесс, у которого все конечномерные распределения нормальны, называется нормальным (гауссовским). Оказывается, что для полного описания такого процесса достаточно знания одно- и двумерного распределений (1), (2), что важно с практической точки зрения, поскольку позволяет ограничиться исследованием математического ожидания и корреляционной функцией процесса.

В теории временных рядов используются ряд моделей случайной составляющей, начиная от простейшей – «белого шума», до весьма сложных типа авторегрессии – скользящего среднего и других, которые строятся на базе белого шума.

Прежде чем определять процесс белого шума рассмотрим последовательность независимых случайных величин, для которой функция распределения есть

Из последнего соотношения следует, что все конечномерные распределения последовательности определяются с помощью одномерных распределений.

Если к тому же в такой последовательности составляющие ее случайные величины X(t) имеют нулевое математическое ожидание и распределены одинаково при всех t Î T, то это – «белый шум». В случая нормальности распределения X(t) говорят о гауссовском белом шуме. Итак, гауссовский белый шум – последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и одинаковой (общей) дисперсией.

Более сложными моделями, широко используемыми в теории и практике анализа временных рядов, являются линейные модели: процессы скользящего среднего, авторегрессии и смешанные.

Процесс скользящего среднего порядка q представляет собой взвешенную сумму случайных возмущений:

(4),

где – независимые одинаково распределенные случайные величины (белый шум);

– числовые коэффициенты.

Легко видеть из определения, что у процесса скользящего среднего порядка q (сокращенно CC(q)) статистически зависимыми являются (q+1) подряд идущих величин X(t), X(t-1),..., X(t-q). Члены ряда, отстоящие друг от друга больше чем на (q+1) такт, статистически независимы, поскольку в их формировании участвуют разные слагаемые .

Процессом авторегрессии порядка p (сокращенно АР(р)) называют взвешенную возмущенную сумму p прошлых значений временного ряда

(5),

где – случайное возмущение, действующее в текущий момент t;

– числовые коэффициенты.

Выражая последовательно в соответствии с соотношением (5) X(t-1) через X(t-2), . . . , X(t-p-1), затем X(t-2) через X(t-3), . . . , X(t-p-2) и т.д. получим, что X(t) есть бесконечная сумма прошлых возмущений Из этого следует, члены процесса авторегрессии X(t) и X(t-k) статистически зависимы при любом k.

Процесс АР(1) часто называют процессом Маркова, АР(2) – процессом Юла. В общем случае марковским называют такой процесс, будущее которого определяется только его состоянием в настоящем и воздействиями на процесс, которые будут оказываться в будущем, тогда как его состояние до настоящего момента при этом несущественно. Процесс АР(1)

является марковским, поскольку его состояние в любой момент определяется через значения процесса , если известна величина в момент . Формально процесс авторегресси произвольного порядка также можно считать марковским, если его состоянием в момент t считать набор

(X(t),X(t-1), . . . , X(t-p-1)) .

Более полно модели СС, АР, а также их композиция: модели авторегрессии – скользящего среднего рассматриваются далее (п.10.1.5 ). Заметим только, что все они представляются частными случаями общей линейной модели

(6)

где – весовые коэффициенты, число которых, вообще-то говоря, бесконечно.

Среди моделей случайной составляющей выделим важный класс – стационарные процессы, такие, свойства которых не меняются во времени. Случайный процесс Y(t) называется стационарным, если для любых n, распределения случайных величин и одинаковы. Иными словами, функции конечномерных распределений не меняются при сдвиге времени:

Образующие стационарную последовательность случайные величины распределены одинаково, так что определенный выше процесс белого шума является стационарным.