Вступ до фінансової математики

. Знайдемо спочатку структуру оптимального портфелю та відповідний ризик Маємо:

Отже за формулою (5) параграфу 5.2

При цьому

тобто ризик

ІІ. Нехай додатково є безризиковий ЦП з Знайти оптимальну структуру ризикової частини портфелю, її ефективність та ризик.

Скористаємося формулою

Послідовно обчислюємо:

 При цьому:

ІІІ. Знайти оптимальний розподіл вкладень, ефективність оптимального портфелю й ризик, якщо є 3000 грн., з яких 1/3 вкладається в безризиковий ЦП.

З 3000 грн. 1000 грн. вкладається під 2%. 2000 грн., що залишилися, розподіляються так: грн. під 10%: під 5% грн. під 3% Ефективність і ризик цього портфелю, відповідно дорівнюють:

Структура ризикової частини така:

Приклад 2. Є капітал в 100 грн. і два види ЦП: ризиковий з ефективністю 0,6 і та безризиковий з ефективністю 0,2. Потрібно визначити структури портфелів з ефективностями 0; 0,2; 0,4; 0,6; 1; 2; 10; 100. Вказати: 1) ефективності портфелей; 2) гроші, які передбачається одержати через ці фінансові операції; 3) структуру портфелей; 4) Пояснити детально шосту ситуацію.

Розв'язання. Тут оптимізаційна задача

при умовах

має однозначні розв'язки, що визначаються формулами:

Результати обчислень наведені в такій таблиці:

№ ситуації	Вкла-дення	Сподіван. ефф. порт.	Сподів. виграш	Структура портфелів	Ризик
				Частки	Гроші
1	100	0	100	-0,5	1,5	-50	150	2
2	100	0,2	120	0	1	0	100	0
3	100	0,4	140	0,5	0,5	50	50	2
4	100	0,6	160	1	0	100	0	4
5	100	1	200	2	-1	200	-100	8
6	100	2	300	4,5	-3,5	450	-350	18
7	100	10	1100	24,5	-23,5	2450	-2350	98
8	100	100	10100	249,5	-248,5	24950	-24850	998

Пояснення шостої ситуації таке. Є 100 грн. В борг береться 350 грн. під 20%. Стає загалом 450 грн. 450 грн. вкладається під 60%. Отримується грн. Віддається кредит грн. Залишилося 720-420=300 грн. Ефективність ФО дорівнює (300-100)/100=2 або 200%. З таблиці бачимо, що зі зростанням ефективності помітно зростає й ризик.

5.6 Рівновага на конкурентному фондовому ринку. Модель ціноутворення капіталовкладень САРМ

Дослідження взаємодії попиту й пропозиції, що призводить до рівноваги на конкурентному ринку є однією з головних задач економічної теорії. Але класична теорія мікроекономічної рівноваги не може бути застосованою до процесів на фондовому ринку, насамперед через те, що вона не враховує роль невизначеності та фактори ризику.

Тому в середині 60-х років XX ст. В працях У. Шарпа))* Sharpe W. F. Capital asset price: A theory of market equilibrium under condition of risk // J. of Finance, 1964, v.19, p.425-442.*, Дж. Лінтнера та Моссина була побудована нова теоретична модель рівноваги на конкурентному фондовому ринку, що отримала назву моделі ціноутворення капіталовкладень (Capital Assets Pricing Model - CAPM).

В цій моделі розглядається поведінка множини інвесторів () на ринку ЦП. Нехай безризиковим ЦП відповідає індекс , а ризиковим - індекси . Припускається, що в початковий момент інвестор має частку повної кількості ризикових ЦП виду , а початкова вартість цього (ринкова оцінка емітента) є . При фіксованій кількості ЦП вона пропорційна ціні одного ЦП. Нехай інвестор ще вкладає суму у безризикові ЦП, так що його початковий капітал є

Основні припущення моделі такі: 1) всі інвестори мають однакову інформацію про ефективність вкладення у будь-які ЦП, що виражається значенням сподіваних ефективностей ЦП та коваріацій 2) всі інвестори прагнуть придбати портфель ризикових ЦП, оптимальний за структурою, а при розподілі капіталу на ризикову й безризикову частини прагнуть максимізувати сподіване значення квадратичної функції корисності, тобто максимізують величини де - сподівана ціна портфелю в майбутньому та її дисперсія, а параметр - характеризує ступінь ухилення від ризику інвестора

З цих припущень й теорії оптимального портфелю випливає, що всі інвестори прагнуть придбати однакові за структурою портфелі ризикових ЦП, тому ефективність ризикової частини вкладень у всіх однакова й дорівнює

Якщо інвестор вкладе частку свого вихідного капіталу у безризикові ЦП, а все інше - у ризикові, то його новий капітал зміниться до рівня :

де - ефективність безризикового вкладення. Сподівана корисність цього капіталу дорівнює

Максимум досягається при виборі

Сумарний капітал, який через вказаний принцип повинен бути вкладеним у ризикові ЦП всіма інвесторами, складає

( характиризує середнє ухилення від ризику всіх інвесторів).

Рівновагою на ринку є ситуація, коли цей капітал збалансований зі сумарною вихідною вартістю ризикових ЦП: Умова балансу ставить таку вимогу до рівноважних цін:

Отже, загальний рівень цін рівноважного ринку обернено пропорційний до середнього ухилення інвесторів від ризику (або ж є пропорційним їхній середній схильності до ризику).

Далі з оптимальності структури ризикової частини випливає основне співвідношення САРМ:

яке було отримано раніше в параграфі 5.

Ефективності через ціни виражаються як

де - ціни (ринкові оцінки) ЦП - того типу в майбутньому, а - відповідна оцінка ринку в цілому:

Неважко встановити, що

де - дисперсія оцінки ринку в майбутньому,

Підставляючи ці вирази до основного співвідношення САРМ і виконуючи прості перетворення, отримуємо, що



При цьому враховується, що структура ризикової частини рівноважного ринку є оптимальною, тобто і

Залишається тільки виключити з допомогою рівняння балансу, яке з врахуванням умов оптимальності має вигляд:

Тоді кінцевий вираз для рівноважних цін такий:

Якщо невизначеність відсутня, тобто

то рівноважні ціни співпадають з цінами у майбутньому, дисконтованими у відповідності до ефективності безризикових вкладень:



Наявність невизначеності змінює картину. Рівноважна ціна ЦП підвищується відносно сподіваної, якщо їхня ефективність знаходиться в оберненій кореляції до ринку, і знижується, якщо ефективність ЦП позитивно корельована по відношенню до ринку. Чим більшим є середнє ухилення від ризику, тім чутливіші ціни до випадковостей ринку, тим більш ярко виражені ефекти кореляції.

Теорія рівноважного ринку дозволяє краще зрозуміти значення таких параметрів, як альфа і бета вкладень інвесторів відносно ринку.

Оскільки згідно до САРМ портфель ринку (структура ЦП на ринку) має ту ж саму структуру, що й оптимальний портфель, який обчислюється на основі ймовірнісних характеристик ефективностей ризикових ЦП, то ринок повинен мати властивості, що притамані оптимальному портфелю. Зокрема для оптимального портфелю, як було показано раніше премія за ризик кожного ЦП пропорційна з коефіцієнтом премії за ризик портфеля в цілому: Тому це відношення вірно і для ринку, тобто має місце співвідношення (1). Отже премія за ризик, пов'язаний з будь-яким ЦП, пропорційна коефіцієнтом премії за ризик ринку в цілому. Рівність (1) часто називають основним рівнянням рівноважного ринку. Відповідна графічна інтерпритація подана на рис.1. Вісь абсцис тут є віссю значень , а вісь ординат- значень Пряма лінія називається лінією ринку ЦП (Security market line - SML). Для ідеального ринку ( тобто ринку, що задовольняє припущенням моделі 1)-2)) задання бета дозволяє знайти сподівану ефективність у вигляді ординати відповідної точки на прямій.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19