Вступ до фінансової математики

p align="left">Вкажімо основні властивості коефіцієнтів дисконтування та нарощення рент, залишаючи їхню перевірку читачеві як самостійну вправу.

Якщо , тo і для довільних .

Випадок трактується як відсутність виплат і тому звичайно приймається, що .

, n1 .

, .

При довільних та , , .

При та довільному , .

,.

Якщо та необмежено зростає, тo

Останній граничний випадок, коли відповідає довічним (безстроковим) рентам. Коефіцієнти дисконтування таких рент мають наступні властивості:

А.

В.

Приклад 1. Кредит в сумі 5 млрд. грн. погашується 12 рівними щомісячними внесками. Процентна ставка за кредитом в місяць. Знайти щомісячний внесок при платежі; а) постнумерандо; б) пренумерандо.

а) для внесків постнумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: млрд. Оскільки , то грн.

б) для внесків пренумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: . Оскільки , то

грн.

Приклад 2. Нехай щорічно сплачується безстрокова рента з грн. Знайти ренти постнумерандо й пренумерандо з і . Тут , .

Оскільки , тo, . Тому постумерандо складає відповідно та грн., а пренумерандо - та грн.

Приклад 3. Знайти суму вкладу на рахунок недержавного пенсійного фонду, щоби він сплачував за ним своїм клієнтам щомісячно грн. Фонд інвестує свої кошти за сталою ставкою в місяць.

Тут доцільно наближено використати модель безстрокової ренти з щомісячним платіжом грн при . Застосуємо схему виплат наприкінці та початку кожного місяця. В першому випадку маємо

грн.,

а в другому

грн.

Приклад 4. Знайти довічних рент пренумерандо і постунумерандо, де сума в сплачуєтсья разів на рік.

Позначимо відповідні ренти як і . Тoді

Якщо є неперервний безстроковий потік платежів з інтенсивністю виплат , що починаєтсья в момент 0, і сила росту процентів є , то відповідна сучасна вартість такої неперервної довічної ренти та її коефіцієнт дисконтування (що відповідає випадку ) складають

Якщо є щорічна довічна рента з довільними платіжами (в моменти 0, 1, 2,…), то її є рядом Таку ренту можна зобразити сумою постійних довічних рент, де перша має член з моменту 0, друга - член з моменту 1, третя - член з моменту 2 тощо. Тоді початкової змінної довічної ренти виражається згідно з вищевказаними результатами у вигляді

Цей вираз є корисним, коли різниці величин Rk більш прості ніж самі .

Приклад 5. Нехай є зростаючий безстроковий потік платежів, що має експоненційний ріст , Знайти цього потоку при умові, що .

Маємо, що

.

3.3 Відстрочені, - кратні та неперервні ренти.

Найпростіші змінні ренти.

Розглянемо узагальнення базових рент попереднього параграфу, коли 1-ша з послідовності одиничних виплат відбуваєтсья в момент для пренумерандо і в момент , для постнумерандо, де додатній час, яким в силу його малості можна практично нехтувати. Подібний поток платежів називаєтсья відстроченою на одиниць часу рентою, а його в момент 0 позначають як для виплат постнумерандо, , . При відстрочена рента збігається з базовою.

Оскільки

то при начисленні відстроченої ренти можливо використовувати формули (7) з пункту 3.2 при довільних значеннях , включаючи дробові. Разом з тим при будь-яких цілих та

Таким чином, при цілому для обчислення коефіцієнтів дисконтування відстроченої ренти можливо використовувати як (1) так і (2), а при довільному , включаючи дробові, тільки (7) з 3.2. З фінансових міркувань, коефіцієнти дисконтування (1)-(2) відстроченої ренти при збігаються з та .

Розглянемо тепер - кратні ренти. Нехай за рік відбуваєтсья рівновіддалених виплат з грош. од. кожна, причому % нараховуються також разів, Загальне число виплат за років є , а загальна їх сума при складає грош. од. Для ренти постнумерандо виплати відбуваються та проценти нараховуються в моменти

а для ренти пренумерандо - моменти

Передостання операція постнумерандо і остання операція пренумерандо відбуваютсья в момент .

Позначимо коефіцієнти дисконтування рент та у випадку виплат і конверсій відповідно через та , а коефіцієнти нарощення - та . Для спрощення іноді опускаємо індекс в проміжних результатах.

Приводячи вартість виплат в до моменту 0, маємо

.

Оскільки , то за формулою зв'язку з

.

Отже,

Аналогічно

.

Тому, як це випливає з фінансових міркувань,

Проводячи подібні підрахунки для , отримаємо

(пропонуємо читачеві як вправу довести це). Граничний перехід в (5) і (6) при та дає рівності

що узагальнює відповідні результати для однократних рент на -кратні. Потрібно зауважити, що -кратна рента з та номінальною річною ставкою еквівалентна однократній ренті з періодом років, та ставкою за період та терміном періодів, бо через рівність маємо, що .

Нехай на інтервалі часу рента сплачується так часто, що її практично можна вважати неперервною, коли різниця між схемами постнумерандо і пренумерандо щезає. Позначимо неперервної ренти з постійною інтенсивністю 1 гр.од. за одиницю часу при неперервному нарахуванні % з постійною інтенсивністю через . Оскільки за інтервал часу при малому буде сплачено гр.од., а приведена на момент 0 цієї суми є , то після підсумовування по інтервалу та переходу до границі при маємо, що

де - будь-яке невід'ємне число (необов'язкове ціле). Якщо , то , що узгоджується з елементарними фінансовими міркуваннями. Оскільки при неперервній конверсії , та при з (8) випливає, що

Нехай h довільне дійсне невід'ємне число, а - відстроченої на неперервної ренти з інтенсивністю 1 на інтервалі часу . Тоді

Тобто відстрочену неперервну ренту можна виразити через миттєву:

.

Міркуючи, подібно до виводу формули (8) маємо для коефіцієнтів нарощення неперервної миттєвої ренти рівність ,

звідки

З (9) ,

та при довільних

і

Використовуючи, що при довільних

маємо з (11), що ,

На заключення параграфу розглянемо ще найпростіші випадки змінних рент, коли їхні члени змінюються за арифметичною та геометричною прогресією.

Якщо члени ренти R0 змінюються у арифметичній прогресії , де перший член і - різниця прогресії, то її є

.

Якщо члени ренти змінюються у геометричній прогресії ( - знаменник прогресії), то її є

.

Читачеві пропонується довести останні дві рівності як вправу.

3.4 Задача оцінки інвестиційних та комерційних проектів

Узагальнені моделі потоків платежів.

Теорія інвестицій (капіталовкладень) є складним та цікавим розділом фінансової теорії та фінансової математики. Ми далі розглянемо деякі відносно прості методи аналітичної оцінки ефективності інвестиційних та інших комерційних проектів, де спочатку вкладаються кошти в деяку сферу (виробництво, будівельну галузь, торгівлю, цінні папери тощо), а потім вони поступово повертаютсья, приносячи інвестору певний прибуток. Задача інвестора - на базі даних про проекти до їх початку та відповідному прогнозі на період реалізації проектів вибрати оптимальний варіант вкладання своїх грошей, оцінивши доходність проектів. Це складна задача, що містить в собі ряд моментів невизначеності та ризику.

У відповідному фінансовому аналізі доцільно йти від простих моделей до більш складних, що враховують більшу кількість факторів та параметрів. Тут розраховані на широке застосування моделі не повинні бути занадто складними. Навіть прості моделі разом з експертними оцінками динаміки майбутніх значень показників дозволяють отримувати оцінку доходності проекту, що вивчається для прийняття рішення про інвестування. Ми не будемо користуватися тут складними ймовірнісними моделями, залишаючись у сфері детермінованих методів. Для цього нам необхідно побудувати модель детермінованого потоку грошових видатків та надходжень у інвестиційному проекті, що розглядаєтсья з різними за знаками та величиною платіжами спочатку в дискретному, а потім в неперервному варіанті.

Почнемо із узагальнення дискретного потоку платежів, що вивчався раніше.

Нехай є деякий інвестиційний проект, що починаєтсья в момент часу з капіталовкладаннями грош.од., а потім в моменти часу , відбуваютсья видатки і/або надходження (доходи) грош.од. - транзакції. Вважаємо, що обрана одиниця часу (напр.рік) та взагалі кажучи .

Введемо вектори , , та позначимо потоки видатків і надходжень відповідно через та

Тоді цих потоків відповідно дорівнюють

,

,

де - коефіцієнт дисконту на інтервалі .

У фінаналізі для інвестора його видатки вважаються від'ємними величинами, а доходи - додатними. Тоді - початкова інвестиція, а - нетто-платіж інвестора у момент (при це видаток, при дохід). Тепер можна розглянути один нетто-потiк , . Чиста PV (Netto Present Value=NPV) цього потоку складає

Аналогічно, чиста AV (Netto Accumulated Value=NAV) потоку на довільний момент складає

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19