Вступ до фінансової математики
p align="left">Якщо розглянути на біноміальному - ринку з часовим горизонтом послідовність (портфель) платіжних зобов'язань , що виконуються в моменти , то управління таким портфелем не викликає особливих труднощів через розвинуту вище теорію. Дійсно для кожного зобов'язання обчислюється його ціна, де - дисконт-фактор, що відповідає ставці , , а ціна портфелю є сумою всіх : Послідовність можна трактувати як змінну стохастичну ренту, а формулу (10) як її сучасну вартість.
IV. Розглянемо тепер розрахунки вартості опціонів американського типу, що дають право його власнику пред'являти опціон до виконання у будь-який момент часу до кінцевої дати .
Для побудови відповідної методології розрахунків знадобиться більш складний апарат теорії випадкових процесів такий як моменти зупинки, супермартингали.
Нехай інформаційний потік -алгебр , що несе інформацію про динаміку цін активу , , який ще називається фільтрацією на імовірнісному просторі . Невід'ємна стохастична послідовність називається узгодженою з потоком (фільтрацією) , якщо для кожного є - вимірною ВВ. Будемо розглядати таку послідовність як послідовність платіжних зобов'язань на фінансовому - ринку. Розглянемо випадкові величини , які приймають свої значення “не забігаючи” у майбутнє потоку , тобто . Їх називають марківськими моментами або моментами зупинки (МЗ) (відносно фільтрації ). За послідовністю, і МЗ побудуємо нове платіжне зобов'язання
Структура показує, що воно визначається всією історією торгів до моменту , але виконується у випадковий момент , що називається теж моментом виконання.
Застосовуючи висвітлену вище методологію управління ризиком до даного зобов'язання , визначаємо його ціну за допомогою усереднення по ризик-нейтральній мірі для біноміального - ринку: .
Позначимо через множину МЗ ф зі значеннями .Тоді буде множиною всіх МЗ. Розглянемо портфель всіх зобов'язань . Оскільки - це “ризик-нейтральний” прогноз майбутніх виплат , то ясно, що як адаптовану до ризику, пов'язаному з цим портфелем, ціну портфелю треба взяти максимальний з цих прогнозів:
,
де . Оскільки набір - скінчений, то знайдеться такий МЗ , що
,
який і слід взяти як момент виконання всього портфеля зобов'язань .
З математичної точки зору знаходження пари є розв'язанням задачі оптимальної зупинки стохастичної послідовності , а з точки зору фінансової економіки - розв'язанням задачі розрахунку деривативу (опціону) американського типу з правом його пред'явлення в будь-який момент до кінцевої дати . Зауважимо, що такі опціони складають у розвинутих країнах переважну більшість опціонної торгівлі (більш 90%).
Розглянемо методологію відповідних розрахунків. Тут повністю зберігається поняття стратегії (портфелю) і відповідно капіталу . Стратегія називається хеджем, якщо майже напевно (м.н.) для довільних . При цьому (м.н.) для будь-якого МЗ . Хедж - мінімальний, якщо для всіх капітал (м.н.) для будь-якого іншого хеджу .
Розглянемо стохастичну послідовність “максимальних прогнозів”:
.
Очевидні граничні значення цієї послідовності і . З'ясуємо структуру послідовності переписавши її термінальне значення через єдиний в класі МЗ . При
Тобто . Покладаючи МЗ
якщо
,
в протилежному випадку,
знаходимо, що дорівнює або, або.Для довільного маємо, що
Продовжуючи вказану процедуру в оберненому часі, остаточно знаходимо, що , а .
Розглянемо тепер побудову мінімального хеджу американського опціону. З (11) маємо, що
( - м.н.), .
Подібні стохастичні послідовності називають супермартингалами.
Загалом стохастична послідовність визначена на імовірнісному просторі з фільтрацією є супермартингалом, якщо , для всіх t і (-м.н.) для всіх .Стохастична послідовність визначена на тому ж просторі називається послідовністю, що передбачається (відносно фільтрації ), якщо ВВ є - вимірною для всіх , - стала.
Кожний супермартингал на стохастичному базисі можна однозначно зобразити як різницю мартингалу і монотонно неспадного процесу , що передбачається; . Це зображення називається розкладом Дуба.
Для доведення цього позначимо і покладемо
.
Тоді ВВ є - вимірними,
і - мартингал, бо
.
Єдиність розкладу Дуба неважко перевірити міркуваннями від оберненого.
Нехай - розклад Дуба супермартингалу . Скористаємось тим, що мартингал на “бернуллієвім просторі”, що розглядається, можна подати у вигляді
де - деяка стохастична послідовність, що передбачається (доведення цього можна знайти напр. в [8], [9]).
Тоді, почавши з , побудуємо за допомогою стратегію з капіталом , так що.Збудована стратегія є мінімальним хеджем, бо
(м.н.) для всіх
і за побудовою
Приклад 3. Нехай потрібно розрахувати опціон американського типу на двохкроковому - ринку, де грн. , а виплати , , , , , причому приймають значення 0,5 з імовірністю і значення - 0,3 з імовірністю .
Підрахунок “бернуллієвої” ймовірності , що визначає ризик-нейтральну ймовірність в даному прикладі є аналогічним підрахунку прикладу 1 і, отже, . Розглянемо структуру максимальних прогнозів
.
Умовне середнє
і тому
Враховуючи рівність , приходимо до і оптимальному моменту виконання .
6.5 Платіжні зобов'язання на неповних ринкахВ попередніх параграфах було показано, що принцип безарбітражності у випадку повних фінансових ринків дає можливість дати досить повні відповіді з розрахунків вартості платіжних зобов'язань (деривативів) на цих ринках. Виникає питання: якою може бути його реалізація для неповних ринків, коли множина відповідних мартингальних мір не зводиться до однієї міри?
Наприклад, якщо в дискретній моделі - ринку випадкові ставки , що задають доходності ризикового активу приймають більше двох значень, то ризик-нейтральних імовірностей може бути багато і відповідно ми маємо стільки ж варіантів усереднених дисконтованих цін , як тоді вибрати без арбітражні ціни для зобов'язання ?
Природна відповідь така: потрібно розглянути відрізок
З результатів попереднього параграфу випливає, що кожне число цього відрізку може прислугувати безарбітражною ціною деривативу . Розглянемо пояснення цього з іншого боку. Нехай - термінальний капітал стратегії з початковим капіталом . Визначимо величини
для деякої, для деякої
Коли одна, то існує хедж з початковим капіталом і термінальним капіталом , що співпадає з . Отже, тоді . В загальному випадку, і відрізок є максимальною областю безарбітражних цін (тобто цін, при яких обидві сторони контракту зі зобов'язанням повинні ризикувати), а є інтервалом арбітражних цін для покупця деривативу, і - інтервалом арбітражних цін для продавця деривативу.
Приклад 1. Якщо , то з одержаної премії x потрібно взяти і цю суму збудувати стратегію , таку що , що можливо з визначення . Тоді є чистим доходом продавця.
В дійсності
,
що дає принциповий спосіб управління ризиком деривативу у ситуації неповного ринку. Для відшукання верхньої та нижньої цін і деривативу розроблена методологія суперхеджування, за якою зобов'язання (можливо досить складної структури) домінується іншим, більш простим деривативом (м.н.), яке реплікується стратегією, що самофінансується. Тоді початковий капітал цієї стратегії можливо взяти як “суперціну” . Далі для кожної маємо, що ,а з означення і випливає їх співпадіння з верхньою й нижньою суперціною.
Приклад 2. Розглянемо опціон покупця . Через те, що маємо . За нерівністю Ієнсена для довільної маємо (з урахуванням мартингальності відносно ), що
.
Отже , а з урахуванням специфіки моделі ринку зовнішні нерівності тут стають рівностями, що приводять до значень і .
Величина називається спредом і характеризує міру неповноти ринку. Неповні ринки є першим кроком відходу від ідеальності - ринку через більш складну імовірнісну структуру цін активу (наприклад, коли волатильність є випадковою).
Ще більш реалістичним є ринки з обмеженнями (напр. різні ставки для набору з різних безризикових активів, заборони “коротких” продаж тощо). Розглянемо просту модель такого ринку -- ринок, для якого
де як і раніше - послідовність НОРВВ (доходних ставок активу ), що приймають два значення і з ймовірностями і , відповідно. Активи та - можливо інтерпретувати як депозитний і кредитний рахунки, а - як акцію. Зокрема, при маємо просто - ринок.
Стратегія (портфель) на - ринку складається з трьох послідовностей, що передбачаються (залежать в кожен момент тільки від ), . Її капітал є , а його невід'ємність означає припустимість стратегії. Самофінансованість означає, що . Щоб уникнути арбітражу через введемо заборону на одночасне розміщення капіталу на депозитному і кредитному рахунках, тобто , а .
Будемо ототожнювати стратегію р з пропорцією ризикового капіталу . Через описане вище обмеження на стратегії інвестор буде вкладати частку свого капіталу на депозит, а - - на кредитний рахунок. Тоді еволюція капіталу має вигляд
.
На неповному - ринку ціна деривативу визначалась однозначно з принципу безарбітражності. Для неповного ринку це втрачається, і принцип безарбітражності дає інтервал без арбітражних цін . Це відбувається і на - ринку.
Для розрахунку “розумних” цін деривативу на - ринку побудуємо допоміжний - ринок і знайдемо умови, коли капітал стратегій з тією ж самою ризиковою пропорцією співпадають на обох ринках. Введемо сталу і визначимо - ринок:
Згідно теорії, викладеної вище, що застосовується до - ринку ціна деривативу визначається однозначно як початковий капітал мінімального хеджу і дорівнює , де - усереднення по - мартингальній імовірності - ринку.
За пропорцією побудуємо відповідні стратегії і на - ринку і - ринку. Виявляться, що при має місце еквівалентність: для всіх тоді і тільки тоді, коли для всіх виконується рівність
Відповідно рівність боргових капіталів еквівалентна умові
Для доведення звернемося до рівняння еволюції капіталу на - ринку:
Аналогічно на - ринку маємо
.
При рівності початкових капіталів ці співвідношення призводять до потрібної еквівалентності, що закладає основу розрахунку ціни на - ринку, коли для будується - ринок.
На - ринку береться мінімальна хеджуюча стратегія і знаходиться справедлива ціна як початковий капітал цієї стратегії. Далі визначаються і як значення нижньої та верхньої ціни на вихідному ринку з обмеженнями.
Реалізуємо цю методологію для опціону покупця з . Тоді визначається формулою Кокса-Росса-Рубінштейна і як функція , що належить відрізку , є зростаючою. Тому на - ринку нижня і верхня межі ціни для можуть бути знову визначені за тією ж формулою, що застосовується на - ринках зі ставками і відповідно:
Ціни показують несиметричність позицій покупця і продавця на - ринку. переважна для покупця як та мінімальна ціна опціону, що гарантує йому термінальну виплату. Тут бажання покупця гарантовано придбати майбутню виплату за мінімально можливою ціною призводить до використання стратегії при і перетворенню умови еквівалентності в , або . відображає точку зору продавця в його намірі продати опціон так дорого, щоб не втрачалися його якості як інвестиційного інструменту для покупця. Продажем опціону продавець придбає борг , відкладений до моменту . Ціна опціону повинна зрівноважувати цей борг на момент продажу опціону. Тому використовується стратегія при і умова рівності боргових капіталів зводиться до , або .
Приклад. Продовжимо розгляд прикладу 1 з параграфу 6.4 з ціною акції грн. і 80грн. з імовірностями і відповідно. Припустимо, що і . Згідно формул (1) маємо, що
грн.
грн.
Тому спред такого - ринку дорівнює
.
Якщо аналогічний розрахунок провести для - ринку зі ставками , , то
і спред
.
Таким чином цей приклад, де, як неважко перевірити, умови еквівалентності і виконуються, показує зменшення спреду як міри неідеальності (неповноти) - ринку при зближенні ставок кредиту й депозиту.
Для неповних ринків поряд з суперхеджуванням можна використовувати й інші підходи для визначення цін платіжних зобов'язань й управління ризиком інвестора. До них відносяться застосування теорії корисності при прийнятті відповідних рішень, хеджування у середньоквадратичному. Коротко зупинимося на останньому підході.
Визначимо ризик, пов'язаний з хеджуванням платіжного зобов'язання стратегією р у випадку моделі ринку з неперервним часом формулою
.
Тоді відповідна стратегія і початковий капітал обираються з умовами мінімізації цього ризику по припустимим значенням і .
Подібним чином ризик можна визначати як для неповних, так і повних ринків. Відмітимо, що в разі моделі Блека-Шоулса ціна деривативу і стратегія , що хеджує його, співпадає відповідно зі значенням і стратегією , що мінімізує значення . В разі дискретної моделі - ринку, коли фізична міра є мартингальною, і визначаються як
.
В цілому, для неповних ринків ризик, пов'язаний з “не дуже ризикованими” платіжними зобов'язаннями, не може бути зведеним до нуля, але його можна мінімізувати.
Коротко обговоримо співвідношення між повними і неповними ринками. Поряд зі спредом можна використовувати й інші характеристики неповноти ринку: лізинг й накладні видатки. Звичайно лізінг активу пропорційний його ціни: , а накладні видатки - його ціні й зміні портфелю: .Параметри і називаються коефіцієнтами лізингу й накладних видатків. Введення нових фінансових інструментів (продуктів) робить вихідний ринок “більш повним” і відповідно зменшує і . Р.Мертон першим визначив рух ринків як фінансово - інноваційну спіраль до напрямку ідеальних, повних ринків, через інноваційний розвиток посередницьких структур, що стають більш відкритими до нових фінансових продуктів й послуг, будуть розширювати й свою географію, нівелюючи тим самим геополітичні переваги різних фінансових інституцій. Але слід брати до уваги й протилежні тенденції, за якими нарощення розмірів й складності фінансових угод, глобальна взаємозалежність ринків збільшують загальні фінансові ризики (зокрема кредитний) та утворюють реальні можливості для виникнення широкомасштабних фінансових криз.
Читача, зацікавленого у більш повній інформації про стан і перспективи розвитку та про викладання сучасної фінансової економіки та фінансової математики, ми відсилаємо до загальних методологічних праць у цьому напрямку С.Велана, Д.Бові й А.Хібберта (S.F. Whelan, D.C. Bowie, A.J. Hibbert, A Primer in Financial Economics, British Actuarial Journal, vol. 8 N 1, p.27-24, 2002) та Р.Мертона [24] та наведеній в них літературі та її огляду.
Література1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. -М.: Инфра - М, 1998.2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975.3. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. 2-е изд. доп. - М.: Наука, 1978.4. Кидуэлл Д.С., Петерсон Р.Л., Блэквелл Д.У. Финансовые институты, рынки и деньги. -- Спб., „Питер”, 2000.5. Кутуков В.Б. Основы финасовой и страховой математики. - М.: “Дело”, 1998.6. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. - К.: Інформтехніка, 1995.7. Малыхин В.И. Финансовая математика. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 1999.8. Мельников А.В. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. - М.: ТВП, 2000.9. Мельников А.В. Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования. 2-е изд. доп. - М.: “Анкил”, 2001.10. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: Высшая Школа Экономики, 2001.11. Мишкін Ф.С. Економіка грошей, банківської справи і фінансових ринків. - К.: Основи, 1998.12. Первозванский А.А., Первозванская Т.П. Финасовый рынок: Расчет и риск. -М.: Инфра - М, 1994.13. Пономаренко О.І. Основи теорії фінансів. - К.: ЕМЦ, 1998.14. Пономаренко О.І. Фінансовий аналіз. Вип.1,2. - К.: ЕМЦ, 2001.15. Пономаренко А.И. Банковское дело для финансовых аналитиков.Части 1,2. - К.: ЕМЦ, 2002.16. Скороход А.В. Лекції з теорії випадкових процесів. - К.: Либідь, 1990.17. Уошел Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. Пер. с англ. - М.: “Финансы”, “ЮНИТИ”,1999.18. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1998.19. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: Фазис, 1998.20. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: Дело, 2000.21. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. - М.: Наука, 1974.22. Elton E.E., Gruber M.Y. Modern portfolio theory and investment analysis. - N.Y., J.Wiley, 4-d ed., 1991.23. Karatzas I. Shreve S.E. Methods of Mathematical Finance. - Springer, Berlin, New York, 1998.24. Merton R.C. Future Possibilities in Finance Theory and Finance Practice. - Mathematical Finance. Bachelier Congress, 2000. - Springer, Berlin, New York, 2002, p. 47 - 73.25. McGutheon J.J., Scott W.F. An introduction to the mathematics of finance. - Oxford, Hieneman, 1986.26. Pliska S. Introduction to Mathematical Finance. Blackwell Publisher; Oxford, Malden, 1997.27. Shafen G., Vovk V. Probability and Finance. It's Only a Game. - Chichester: Wiley, 2001.28. Пономаренко О.І. Вступ до актуарної математики. - К.: ЕМЦ, 2003.Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
