Вступ до фінансової математики

p align="center">2.4 Неперервне нарахування процентів і неперервне дисконтування

В сучасній практиці фінансових інституцій за електронних методів виробництва та реєстрації ФО проценти на значні суми нараховуються щоденно і навіть за періоди в декілька годин. Тому тут стають у нагоді моделі неперервного нарахування процентів, що досить добре наближають дискретні розрахунки.

Схему неперервного нарахування складних процентів можна одержати граничним переходом для схем з релятивними ставками для періоду конверсії в базового періоду часу, що відповідають даній ефективній ставці , пов'язаній з базовою одиницею часу. Неперервне нарахування процентів є граничним для описаної моделі при , оскільки тоді період конверсії стає нульовим. При цьому існує границя

яка називається силою росту (force of interest) або неперервною ставкою процентів. Відповідних коефіцієнт нарощування за довільний час

і отже нарощування інвестиції описується формулою

Застосовуючи подібний граничний перехід для антисипативної схеми з релятивними обліковими ставками , що відповідають ефективній обліковій ставці на базову одиницю часу, , маємо, що

.

При умові еквівалентності ставок і маємо, що і, отже . Очевидно, що гранична неперервна схема нарахування складних процентів буде тією ж самою як для декурсивної, так і для антисипативної схеми. При цьому зокрема, , що дає значення так званого складного коефіцієнта дисконтування для будь якого часу у вигляді

що дає наступний вираз сучасної вартості PV (present value) для суми на момент

Відмітимо, що при сталих ефективній ставці , номінальній неперервній ставці коефіцієнт нарощення залежить тільки від довжини часового інтервалу і є оберненою величиною до . Зауважимо також, що і похідна .

Через випадкові коливання курсів цінних паперів й інших високоліквідних фінансових активів (валют, дорогоцінних металів) можливо вважати при моделюванні, що процентні ставки подібних активів змінюються неперервно в часі, тобто є функцією часу. Це означає, що залежить і від і від, причому

Через рівність

маємо ще одну інтепретацію сили росту . З (6) випливає, що

а коефіцієнт дисконтування для проміжку має вигляд

Зокрема при і проміжку

Приклад 1. Нехай на проміжку часу [0, 5) прогнозується ступінчаста зміна сили росту зі значеннями 0,2 при , 0,15 при і 0,1 при . Тоді за формулою (8) маємо, що

Приклад 2. Збудувати неперервну модель зміни капіталу фінансового фонду з початковим капіталом , якщо його капітал інвестується під неперервну ставку та мають місце нові надходження з інтенсивністю (це неперервний аналог дискретної моделі параграфу 2.3).

Динаміку зміни капіталу за нескінченно малий проміжок часу від до можна описати як приріст капіталу за рахунок процентного доходу

і нових надходжень :

.

Тобто, є розв'язком неоднорідного диференціального рівняння

,

який, як відомо, має форму

що при узгоджується з формулою (7).

Задачі та вправи

1. При якій річній ставці складних процентів за 9 років сума на депозиті подвоїться?

2. Рахунок „СБ-100” в сбербанку обіцяє 2,9% за 100 днів. Скільки це складає річних процентів?

3. Знайти суми в 1990, 1995, 2005, 2010 роках, еквівалентні сумі 10 000 грош. Од. В 2000 році при ставці 8% річних в разі простих та складних процентів.

4. Банк облікував вексель під 70% його номіналу за півроку до терміну його погашення. Яка доходність (ефективність) операції для банку?

5. Яку ставку повинен призначити банк, щоб при річній інфляції в 12% реальна ставка була б 6%?

6. Б.Франклін заповів мешканцям Бостону Ј1000 на таких умовах: 1) гроші давати під 5% річних молодим ремісникам; 2) через 100 років з накопичень (за складними процентами) Ј100 000 віддається на будівлю суспільних споруд; 3) гроші, що залишилися віддати під тіж самі проценти ще на 100 років; 4) після цього терміну накопичену суму поділити між мешканцями Бостону та Массачузетської громади, котрій передати Ј3 000 000. Скільки грошей одержали мешканці Бостону через 200 років після смерті Франкліна (1790 рік)?

7. Показати, що ефективна ставка більша за номінальну.

Глава 3. Потоки платежів, ренти, ануїтети та планування капітальних інвестицій.

3.1 Потоки платежів та їх класифікація

Сучасні фінансово-банківські операції часто носять протяжний у часі характер та складаються не з разового платіжу, а з деякої послідовності платежів в часі. що називається потоком платежів (cash flow). Прикладами є погашення позики частинами, орендна плата, інвестування у виробництво, виплата пенсій тощо.

Для опису потоку платежів треба знати моменти виплат та величини виплат (суми) в моменти Тоді називаються членами потоку платежів. В нерегулярному потоці членами можуть бути як додатні (надходження), так і від'ємні величини (виплати), а відповідні платежі можуть виконуватися через різні інтервали часу.

Регулярний поток платежів, всі члени якого додатні, а часові інтервали між сусідніми платіжами однакові, називаєтсья фінансовою рентою або просто рентою. В англомовній літературі ренти називаютсья ануїтетами (annuity). Ренти дуже часто зустрічаються у економічній, фінансовій та страховій практиці. Їх простими прикладами є квартплата, внески для погашення споживчаго кредиту, пенсійні платежі, регулярна виплата процентів за банківським депозитом або за цінними паперами, тощо. Спочатку розглядалися тільки щорічні виплати (anno-рік латиною), звідки й походить назва ануїтет.

Окрім члена ренти (rent) , періоду ренти (rent period, payment period) рента характеризуєтсья також терміном ренти (term) та діючою процентною ставкою . При характеризації окремих видів рент необхідні додаткові умови й параметри. При рента називається постійною, а в противному випадку змінною. Виплата ренти може відбуватися - разів на рік , а нарахування процентів на платежi разів на рік, Подібні ренти називаютсья дискретними () - кратним рентами (при l=m=1 - річними рентами). Зустрічаються ренти, де платіжі такі часті, що практично ренту можна розглядати як неперервну.

Якщо виплата відбуваєтсья наприкінці кожного періоду часу, то рента називається рентою постнумерандо або звичайною (ordinary annuity), а якщо на початку кожного періоду - то рентою пренумерандо або авансованою (annuity due). Іноді виплати відбуваються в певний момент внутрішній для періоду. За терміном ренти поділяються на безумовні або вірні (annuity certain) які передбачають точні дати виплат, особливо початкову й кінцеву, та умовні (contingent annuity), де дата першої і (або) останньої виплат залежить від того чи відбудеться деяка подія (взагалі випадкова). Тому число членів умовної ренти зарані невідомо. Типові приклади такого роду дають різні страхові ренти (ануїтети), наприклад пожиттєва сплата пенсії (до смерті клієнта) (life annuity). При рента називається безстроковою (довічною) (perpetuity). Якщо період ренти співпадає з періодом конверсії %, то рента називаєтсья простою, а в противному разі - загальною. По відношенню початку терміну ренти та обраного моменту, що передує початку ренти, ренти поділяються на миттєві та відкладені (instant and differed annuity).

Головними розрахунками, пов'язаними з потоками платежів та рент є методи обчислення нарощених сум (майбутньої вартості) та сучасної вартості (на момент t0). заданого потоку платежів. Розглянемо загальну постановку задачі. Припустимо, що є потік платежів Yk, що сплачуються через час tk після початкового моменту часу, . Загальний термін виплат складає одиниць часу (напр., років). Необхідно визначити нарощену суму на кінець терміну, коли проценти нараховуються раз на одиницю часу за складною ставкою . Тоді очевидно, у випадку ренти постнумерандо (що вказується індексом 1 в позначеннях) при

де дисконт-фактор.

Сучасна вартість потоку платежів є його узагальненою оцінкою на деякий попередній момент часу (у миттєвої ренти - на початок терміну). Нарощена сума (майбутня вартість) - це оцінка потоку на кінець терміну. Очевидно, що між та існує проста функціональна залежність:

3.2 Постійні ренти пренумерантдо та постнумерандо

Довічні ренти.

Безпосереднє використання загальних формул розрахунку типу (1) та (2) при великих n та їх загальний аналіз є ускладненими. У випадку постійних рент вирази (1) та (2) можна значно спростити та компактизувати.

Позначаючи випадок ренти пренумерандо індексом 0 (зокрема,

, ,

виведемо спрощені формули для та постійних рент та . Для спрощення будемо приймати, що та , , а

.

Тоді для ренти пренумерандо маємо.

Для ренти постнумерандо маємо

Для вартості рент з одиничними виплатами в актуарній та фінансовій математицi застосовують спеціальні позначення:

тобто

Нарощені вартості в моменти n рент постнумерандо та пренумерандо з одиничними виплатами позначаютсья відповідно як

Звідси

Величини та називають коефіцієнтами дисконтування, а та - коефіцієнтами нарощення рент. Якщо величина процентної ставки фіксована, то в нижньому індексі часто пишуть замість просто .

Корисність та зручність введених величин полягає в тому, що в загальному випадку

Наведені позначення введені наприкінці ХІХ ст. Міжнародним Союзом Актуаріїв.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19