Вступ до фінансової математики

p align="left">Приклад 2. Виданий кредит в сумі 1 млн. грн. з 15.01.02 по 15.03.02 під 20% річних (=0,2). Тоді при точних процентах схеми 1) =1032328 грн. 77 коп., а при звичайних процентах схеми 3) =1033333 грн. 33 коп..

Припустимо, що інфляція або інші зміни кон'юнктури змушують часто змінювати ставку (floating rate). Нехай в період угоди відбуваються зміна в моменти часу . Позначимо і розіб'ємо період на проміжків зі сталою ставкою, щоб на вона складала величину .

Тоді якщо сума розміщена під прості проценти при описаних змінах ставки та відсутності проміжних операцій, то коефіцієнт нарощення на проміжку складає величину

Формула (1) є прямим наслідком принципу нарахування простих процентів на сталу початкову суму.

Приклад 3. Контракт передбачає нарахування простих процентів: за 1-й рік - 60%, а в кожному наступному півріччі (семестрі) ставка підвищується на 10%. Визначити нарощення А за 2,5 роки.

Маємо

і . Тому .

Якщо в моменти зміни ставки, нарощена сума вилучається й негайно знов вкладається під новий простий процент, то така схема називається реінвестуванням простих процентів.

Пропозиція. При описаному реінвестуванні з початковою інвестицією нарощена на сума складає:

Формула (2) легко перевіряється індукцією за числом .

Наслідок. При

і

реінвестування дає схему складних процентів: .

Приклад 4. На суму щомісячно протягом кварталу нараховують прості проценти за ставкою в 9% за 1-й місяць, =10% за 2-й місяць і =11% за 3-й. Тоді при реінвестуванні

.

Зауважимо, що через можливість реінвестування банки практично не користуються схемою простих процентів для депозитів, що тривають більше ніж один період конверсії, хоч вона є для них більш вигідною.

Приклад 5. Нехай позичальник заборгував сум , що погашаються після днів (тобто в різні терміни) за простими процентними ставками відповідно. Позичальнику іноді вигідно сплатити весь борг разом, але кредитор погодиться на це тільки коли він не понесе збитку. Тоді за принципом еквівалентності фінансових зобов'язань один термін повертання боргу в днів (середній термін погашення позики одному кредитору) за однією (середньою процентною ставкою) повинен давати ту же суму платіжу, що й сума процентних платежів за попередніми угодами. Це дає таке співвідношення (рівняння еквівалентності) для і:

,

де - базове число днів у році. Легко побачити, що рівняння еквівалентності може бути ефективно розв'язане відносно у таких випадках: 1) коли

і ;

Тоді

- середнє арифметичне окремих термінів погашення;

2) - різні, але

;

тоді

- середнє зважене окремих термінів з вагами

; 3) ; тоді очевидно за потрібно взяти , звідки середня ставка

- середнє зважене .

Приклад 6. Споживчий кредит сумою наданий на умовах річної простої процентної ставки і має бути сплачений за місяців з однаковими місячними виплатами основного боргу (без нарахування процентів). Скласти модель погашення кредиту (модель амортизаційного плану місячних сплат).

Тут процентний платіж за користування кредитом розраховується “вперед”: за 1-й місяць платіж розраховується на весь борг, а на кожний наступний місяць - на залишок боргу (на величину боргу, зменшену на вже сплачену частину). Тоді платіж в 1-ому місяці є у другому місяці

і т.д. Тоді в - тому місяці

Тоді загальна сума виплат за користування кредитом (інтерес кредитора) буде

Отже загалом на погашення кредиту йде сума, де дається формулою (4).

Приклад 7. Скласти план погашення кредиту в 15000 грн. з =12% і терміном погашення в 6 місяців.

Користуючись формулами (3) і (4) маємо амортизаційний план, що представлений такою таблицею:

Місяць	Борг	% платіж	Виплата боргу	Місячний платіж
	15000	12%
1	12500	150	2500	2650
2	10000	125	2500	2625
3	7500	100	2500	2600
4	5000	75	2500	2575
5	2500	50	2500	2550
6		25	2500	2525
разом		525	15000	15525

Схема простих процентів зі звичайною процентною ставкою , що є нормою прибутку за один період конверсії (капіталізації), як випливає з вищевказаних розглядів, пов'язана зі сплатою (нарахуванням) процентів наприкінці кожного з періодів капіталізації протягом часу, що складається з ряду таких послідовних періодів. Такий спосіб нарахування процентів називається декурсивним (наступним), а самі відповідні прості проценти - процентами “потім” (постнумерандо), що виражає факт їх нарахування наприкінці періоду конверсії. Схема простих процентів з обліковою ставкою пов'язана з нарахуванням і сплатою процентного прибутку на початку кожного періоду капіталізації. Процентний прибуток називається тоді авансовим (на відміну від рекурсивної схеми, де він є заборгованим), а сама величина прибутку називається дисконтом (на відміну від рекурсивної системи, де він називається інтересом). Сама подібна схема капіталізації прибутку на початку періодів конверсії називається антисипативною, а відповідні процентні платежі - платіжними “вперед” (попередньо або пренумерандо).

Доведемо вказаний факт. Нехай фактична ставка дисконту (облікова ставка), . Інвестор, що вкладає суму на один період конверсії зі ставкою пренумерандо буде негайно отримувати процентний прибуток , цей прибуток негайно приєднується до його доходу, інвестується і дає прибуток інвестування якого дає прибуток і т.д. до нескінченності. Таким чином загальний дохід інвестора (сума інвестованого капіталу плюс всі прибутки) складає величину

(в очевидних припущеннях, що , бо пов'язана з еквівалентною їй за результатами процентною ставкою відношенням через рівність

).

Формально рівність (5), що втілює антисипативний характер нарахування простих процентів з обліковою ставкою є наслідком розкладу

.

Зауважимо, що зв'язок еквівалентних ставок і можна переписати у вигляді , звідки випливає, що . Отже тоді .

Антисипативна за своєю сукупністю схема простих процентів з обліковою ставкою прямо налаштована на підрахунок сучасного, приведеного або поточного значення (present value) інвестиції тобто суми по її майбутній вартості (future value)

: ,

бо при її використанні легше підраховується дисконт-фактор ніж при рекурсивній схемі зі ставкою, коли . При цьому величина дисконту є знижкою до сучасної вартості.

Подібний підхід зручно застосовувати при ФО пов'язаних з обліком боргових цінних паперів (БЦП) - векселів і облігацій. Вексель (В) є письмовим борговим зобов'язанням, що укладено у відповідності із законом та дає право його власнику після настання строку оплати отримати від юридичної або фізичної особи, яка видала В, обумовлену ним суму. В - це цінний папір (ЦП), який підтверджує факт надання позики, або купівлі товару в кредит під проценти і який може знаходитися як і інші ЦП в обігу на фінансовому ринку, тобто перепродаватися й куплятися, змінюючи власника. Виникає проблема оцінювання В при таких ФО, що відбуваються до настання строку платежу (date of maturity) за векселем. Звичайно банк або інша фірма, що купляє В до цього строку (враховує його) з деяким дисконтом (знижкою) відносно його номінальної вартості. Ця ФО здійснюється із застосуванням облікової ставки , тобто ціна обліку (врахування) В обчислюється за формулою , де - номінальна ціна В, а час в періодах конверсії до яких прив'язана ставка до строку погашення векселя. При цьому дохід банку (дисконт врахування В) є .

Приклад 7. Тратта (перевідний В) виданий на суму 10000 грн. зі сплатою (погашенням )17.11.2002. Власник В врахував його у банку 23.09.2002 по річній обліковій ставці =20%. Яку суму він отримав і який дисконт(дохід) отримав при цьому банк?

Звичайно облік В здійснюється при часовій базі року =360 днів з точним числом днів позики, що в даному прикладі дорівнює 55 дням . Тому =10000(1-(55/360)0,2)=9694 грн. 44 коп. Отже дисконт банку складає величину

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19